¿Qué es una ecuación algebraica?

Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones que involucra una o varias cantidades desconocidas llamadas incógnitas y que sólo se verifica para un determinado o determinados valores del o las incógnitas. Por lo general las incógnitas se representan por las últimas letras del alfabeto: \(u\), \(v\), \(x\), \(y\), \(z\).

Ejemplos de ecuaciones algebraicas

Ejemplo 1. \(2x+1=7\) es una ecuación, ya que representa una igualdad entre dos expresiones, involucra una cantidad desconocida representada por la variable \(x\), y es verdadera para un determinado valor de \(x\).

En particular, esta ecuación se verifica o es verdadera cuando \(x=3\), es decir, si sustituimos la incógnita \(x\) por el número 3, obtenemos una igualdad verdadera:\[\begin{aligned}2x+1&=7\\2(3)+1&=7\\6+1&=7\\7&=7\end{aligned}\]

Ejemplo 2. \(5y-9=y+7\) es una ecuación, ya que esta representa una igualdad entre dos expresiones e involucra una cantidad desconocida representada por la incógnita \(y\), y esta igualdad sólo es verdadera para un determinado valor de \(y\).

En particular, esta ecuación solo se verifica o es verdadera cuando \(y=4\), es decir, si sustituimos la incógnita \(y\) por el número 4 obtenemos una igualdad verdadera:\[\begin{aligned}5y-9&=y+7\\5(4)-9&=4+7\\20-9&=11\\11&=11\end{aligned}\]

Ejemplo 3. \(3z-12=0\) es una ecuación, ya que representa una igualdad entre dos expresiones (Si, aunque una de ellas sea cero), involucra una cantidad desconocida representada por la incógnita \(z\) y esta igualdad sólo es verdadera para un determinado valor de la incógnita.

En particular esta ecuación se verifica o es verdadera cuando \(z=4\), es decir, si sustituimos la incógnita \(z\) por el número 4 obtenemos una igualdad verdadera:\[\begin{aligned}3z-12=0\\3(4)-12=0\\12-12=0\\0=0\end{aligned}\]

Ejemplo 4. \(v^2=9\) es una ecuación, ya que representa una igualdad entre dos expresiones, involucra una cantidad desconocida \(v\) y solo es verdadera para determinados valores de \(v\). En particular, esta ecuación se verifica o es verdadera cuando \(v=3\) o \(v=-3\).

Observa que si sustituimos la incógnita \(v\) por el número \(-3\) obtenemos:\[\begin{aligned}v^2=9\\(-3)^2=9\\(-3)\times (-3)=9\\9=9\end{aligned}\] Ahora, observa que si sustituimos la incógnita \(v\) por el número \(3\) obtenemos:\[\begin{aligned}v^2=9\\(3)^2=9\\(3)\times (3)=9\\9=9\end{aligned}\] Como podrás observar esta ecuación tiene 2 soluciones distintas y ambas verifican o hacen verdadera la ecuación

Analizando estos ejemplos surgen las siguientes preguntas:

  • ¿De dónde salieron los valores que sustituimos en cada ecuación?
  • ¿Cuántas soluciones tiene una ecuación?
  • ¿Cuántos tipos de ecuaciones algebraicas existen?

Estas y más preguntas se pueden responder al conocer cuáles son los elementos de una ecuación.

Partes de una ecuación algebraica

Elementos de una ecuación

Los elementos de una ecuación son:

  • Miembros de una ecuación.
  • Expresión algebraica.
  • Términos de una ecuación.
  • Incógnita o incógnitas de una ecuación.
  • Solución o soluciones de una ecuación.

Miembros de una ecuación

En una ecuación se le denomina primer miembro a la expresión algebraica que se encuentra del lado izquierdo del signo igual, y segundo miembro a la expresión algebraica que se encuentra del lado derecho del signo igual. Por ejemplo:

  • En la ecuación \(2x+7=6x-1\), el primer miembro es \(2x+7\) y el segundo miembro es \(6x-1\)
  • En la ecuación \(v^2=9\), el primer miembro es \(v^2\) y el segundo miembro es \(9\)
  • En la ecuación \(3z-12=0\), el primer miembro es \(3z-12\) y el segundo miembro es \(0\)

Expresión algebraica

Una expresión algebraica es la representación de un símbolo algebraico o de una o más operaciones algebraicas tales como la suma, la resta, la multiplicación, la división y la potenciación. Por ejemplo:

  • En la ecuación \(2x+7=6x-1\), el primer miembro \(2x+7\) es una expresión algebraica, al igual que el segundo miembro \(6x-1\) es también una expresión algebraica.
  • En la ecuación \(v^2=9\), el primer miembro \(v^2\) es una expresión algebraica, al igual que el segundo miembro \(9\) es también una expresión algebraica.

Términos de una ecuación

Un término es una expresión algebraica que está formada por un solo símbolo o varios símbolos no separados entre sí por el signo \(+\) o \(-\). Por ejemplo:

  • En la ecuación \(2x+7=6x-1\), los términos son: \(+2x\), \(+7\), \(+6x\) y \(-1\)
  • En la ecuación \(v^2=9\), los términos son: \(+v^2\) y \(+9\)
  • En la ecuación \(3z-12=0\), los términos son: \(+3z\), \(-12\) y \(0\)

Término algebraico

Un término algebraico es un término que está formado por un signo, un coeficiente, una base o literal y un exponente. Por ejemplo:

  • En la ecuación \(2x+7=6x-1\), los términos algebraicos son: \(+2x\) y \(+6x\).
  • En la ecuación \(v^2=9\), el único término algebraico es: \(+v^2\).
  • En la ecuación \(3z-12=0\), el único término algebraico es: \(+3z\).

Término constante

Un término constante es un término en una expresión algebraica que tiene un valor fijo. Por ejemplo:

  • En la ecuación \(2x+7=6x-1\), los términos constantes son: \(+7\) y \(-1\)
  • En la ecuación \(v^2=9\), el único término constante es: \(+9\)
  • En la ecuación \(3z-12=0\), los términos constantes son: \(-12\) y \(0\)

Incógnita o incógnitas de una ecuación

La incógnita de una ecuación es el valor desconocido que se pretende determinar. Por ejemplo:

  • En la ecuación \(5x+3=10\), la incógnita es \(x\)
  • En la ecuación \(9y^2-1=0\), la incógnita es \(y\)
  • En la ecuación \(5x+3z=9\), las incógnitas son \(x\) y \(z\)

Grado de una ecuación

El grado de una ecuación está determinado por el exponente de mayor valor de una incógnita de la ecuación.

Ecuación lineal

Una ecuación lineal o de primer grado es aquella cuyo valor máximo del exponente de la incógnita es 1 y se representa de forma general como: \[ax+b=0\]

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática o de segundo grado es aquella cuyo valor máximo del exponente de la incógnita es 2 y se representa de forma general como: \[ax^2+bx+c=0\]

Ecuación cúbica

Una ecuación cúbica o de tercer grado es aquella cuyo valor máximo del exponente de la incógnita es 3 y se representa de forma general como:\[ax^3+bx^2+cx+d=0\]

Grado de una ecuación de varias incógnitas

Una ecuación de varias incógnitas es aquella que involucra dos o más cantidades desconocidas. Por ejemplo:

  • La ecuación \(5xy^2-9=y+7\) es una ecuación de 2 incógnitas porque involucra a \(x\) y \(y\) como cantidades desconocidas.
  • La ecuación \(x^2y^3+3=x+y+z\) es una ecuación de 3 incógnitas porque involucra a \(x\), \(y\) y \(z\) como cantidades desconocidas.

El grado de una ecuación de varias incógnitas está determinado por el exponente de mayor valor de una incógnita en específico. Por ejemplo:

  • La ecuación \(5xy^2-9=y+7\) es una ecuación de primer grado con respecto a la variable \(x\) debido a que el mayor exponente de \(x\) es 1 y es de segundo grado con respecto a la variable \(y\) debido a que el mayor exponente de \(y\) es 2.