Dado un número real "x" mayor que cero y "a" un número real mayor que cero y diferente de uno, el logaritmo en base "a" de "x" es igual al exponente "y" al cual debe elevarse la base "a" para obtener "x" como resultado.
Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera:
\[\log_{a}(x)=y\Leftrightarrow a^{y}=x\]
Logaritmos y sus propiedades
Las propiedades de los logaritmos son reglas matemáticas que describen el comportamiento de los logaritmos en diversas operaciones. Estas reglas son esenciales para simplificar expresiones logarítmicas.
Las propiedades principales de los logaritmos incluyen la propiedad del logaritmo de un producto, la propiedad del logaritmo de un cociente, la propiedad del logaritmo de una potencia, la propiedad del logaritmo del recíproco, la propiedad del logaritmo de una raíz y la propiedad del cambio de base de un logaritmo.
Las propiedades secundarias de los logaritmos se obtienen a partir de la definición de logaritmo. Estas incluyen la propiedad del logaritmo del número uno y la propiedad del logaritmo de la base.
A continuación, se presentan a detalle cada una de estas propiedades de los logaritmos.
Logaritmo de un producto
La propiedad del logaritmo de un producto establece que el logaritmo base "a" de un producto es igual a la suma de los logaritmos base "a" de los factores.
Logaritmo de un producto ejemplos
Ejemplo 1. \[\begin{aligned}\log_{3}(3\cdot 9)&=\log_{3}(3)+\log_{3}(9)\\&=1+2\\&=3\end{aligned}\] Ejemplo 2. \[\begin{aligned}\log_2(32)&=\log_2(2\cdot 16)\\&=\log_2(2)+\log_2(16)\\&=1+4\\&=5\end{aligned}\] Ejemplo 3. \[\begin{aligned}\log_{4}(2)+\log_{4}(32)&=\log_{4}(2\cdot 32)\\&=\log_{4}(64)\\&=3\end{aligned}\]
Logaritmo de un cociente
La propiedad del logaritmo de un cociente establece que el logaritmo base "a" de un cociente es igual al logaritmo base "a" del dividendo menos el logaritmo base "a" del divisor.
Logaritmo de un cociente ejemplos
Ejemplo 4. \[\begin{aligned}\log_5\left(\frac{25}{5}\right)&=\log_5(25)-\log_5(5)\\&=2-1\\&=1\end{aligned}\] Ejemplo 5. \[\begin{aligned}\log_2\left(\frac{8}{4}\right)&=\log_2(8)-\log_2(4)\\&=3-2\\&=1\end{aligned}\] Ejemplo 6. \[\begin{aligned}\log_3(45)-\log_3(5)&=\log_3\left(\frac{45}{5}\right)\\&=\log_3(9)\\&=2\end{aligned}\]
Logaritmo de una potencia
La propiedad del logaritmo de una potencia establece que el logaritmo base "a" de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo base "a" de la base de la potencia.
Logaritmo de una potencia ejemplos
Ejemplo 7. \[\begin{aligned}\log_3(27^2)&=2\cdot\log_3(27)\\&=2\cdot 3\\&=6\end{aligned}\] Ejemplo 8. \[\begin{aligned}\log_2(8^4)&=4\cdot\log_2(8)\\&=4\cdot 3\\&=12\end{aligned}\]
Logaritmo del recíproco
La propiedad del logaritmo del recíproco establece que el logaritmo base "a" del recíproco de "x", es decir, el logaritmo base "a" de 1/x es igual al opuesto del logaritmo base "a" de "x".
Logaritmo del recíproco ejemplos
Ejemplo 9. \[\ln{\frac{1}{5}}=-\ln{5}\] Ejemplo 10. \[\ln{\frac{1}{10}}=-\ln{10}\]
Logaritmo de una raíz
La propiedad del logaritmo de una raíz establece que el logaritmo base "a" de una raíz es igual al producto entre el recíproco del índice de la raíz y el logaritmo base "a" del radicando.
Logaritmo de una raíz ejemplos
Ejemplo 11. \[\begin{aligned}\log_4(\sqrt[6]{16})&=\frac{1}{6}\cdot\log_4(16)\\&=\frac{1}{6}\cdot 2\\&=\frac{2}{6}\\&=\frac{1}{3}\end{aligned}\] Ejemplo 12. \[\begin{aligned}\log_2(\sqrt[4]{8})&=\frac{1}{4}\cdot\log_2(8)\\&=\frac{1}{4}\cdot 3\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}\] Ejemplo 13. \[\begin{aligned}\log_5(\sqrt{5})&=\frac{1}{2}\cdot \log_5(5)\\&=\frac{1}{2}\cdot 1\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}\]
Cambio de base de un logaritmo
La propiedad del cambio de base de un logaritmo establece que el logaritmo base "a" de "x" puede escribirse como un cociente de logaritmos en otra base.
Cambio de base de un logaritmo ejemplos
Ejemplo 14. \[\begin{aligned}\log_2(4)&=\frac{\log_4(4)}{\log_4(2)}\\&=\frac{1}{\frac{1}{2}}\\&=2\end{aligned}\] Ejemplo 15. \[\begin{aligned}\log_2(16)&=\frac{\log_{10}(16)}{\log_{10}(2)}\\&=\frac{1.2041}{0.3010}\\&=\approx 4\end{aligned}\]
Es importante destacar que, para aplicar las propiedades de los logaritmos, las bases de los logaritmos tienen que ser iguales. Por ejemplo, una suma de logaritmos se puede escribir como el logaritmo de un producto, pero solo si la base de los logaritmos de los sumandos es la misma.
A continuación, veamos las propiedades secundarias de los logaritmos, las cuales se derivan a partir de la definición de logaritmo.
Logaritmo de uno
La propiedad del logaritmo de uno establece que el logaritmo base "a" del número uno es igual a cero. Esto se debe a que cualquier número diferente de cero elevado al exponente cero siempre es igual a uno.
Por ejemplo: \[\begin{aligned}\log_{2}(1)&=0\\\log_{5}(1)&=0\\\log_{10}(1)&=0\\\log_{e}(1)&=0\end{aligned}\]
Logaritmo de la base
La propiedad del logaritmo de la base establece que el logaritmo base "a" del número "a" es igual a uno. Esto se debe a que para cualquier valor de "a" se cumple que "a" elevado al exponente uno es igual a sí mismo.
Por ejemplo: \[\begin{aligned}\log_{2}(2)&=1\\\log_{5}(5)&=1\\\log_{10}(10)&=1\\\log_{e}(e)&=1\end{aligned}\]
Propiedades de los logaritmos ejercicios para practicar
Ejercicio 1. Calcular el valor del siguiente logaritmo: \[\log_4(64)\]
Ejercicio 2. Obtener el valor del siguiente logaritmo: \[\log_5(125)\]
Ejercicio 3. Hallar el valor del siguiente logaritmo: \[\log_3\left(\frac{1}{27}\right)\]
Ejemplo 4. Aplicando las propiedades de los logaritmos, simplifica la siguiente expresión: \[\log_2(8)+\log_2(32)\]
Ejercicio 5. Aplica las propiedades de los logaritmos para simplificar la siguiente expresión: \[\log_7(49)-\log_7(7)\]
Ejercicio 6. Calcular el valor del siguiente logaritmo: \[\log_9(81^{\frac{3}{2}})\]
Ejercicio 7. Aplica las propiedades de los logaritmos para determinar el valor de la siguiente expresión: \[\log_6(36)-\log_6(6)\]
Ejercicio 8. Simplifica la siguiente expresión logarítmica: \[\log_4(2)+\log_4(8)\]
Ejercicio 9. Determinar el valor de la siguiente expresión con logaritmos: \[\frac{\log_{2}(16)}{\log_{2}(4)}\]