Propiedades de los logaritmos naturales

¿Qué es un logaritmo natural?

Se denomina logaritmo natural al logaritmo cuya base es el número irracional \(e\) (número de Euler), cuyo valor aproximado es 2.71828. El logaritmo natural de un número real \(x\) se denota como \(\log_{e}(x)\) o simplemente como \(\ln(x)\).

El logaritmo natural de un número real \(x\), tal que \(x\) es mayor que cero, es igual al exponente \(y\) al cual se debe elevar la base del logaritmo natural (el número irracional \(e\)) para que sea igual a \(x\). Matemáticamente, esto se expresa como: \[\ln(x)=y\Leftrightarrow e^{y}=x\]

¿Cuáles son las propiedades de los logaritmos naturales?

Las propiedades de los logaritmos naturales son similares a las de otros tipos de logaritmos, pero específicas para la base \(e\). Las propiedades principales de los logaritmos naturales son: La propiedad del logaritmo natural de un producto, la propiedad del logaritmo natural de un cociente, la propiedad del logaritmo natural de una potencia, la propiedad del logaritmo natural del recíproco, la propiedad del logaritmo natural de una raíz y la propiedad del cambio de base de un logaritmo natural. A continuación, veamos en qué consiste cada una de estas propiedades.

Logaritmo natural de un producto

Propiedad del logaritmo natural de un producto: Para \(x, y >0\) se cumple que: \[\ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)\] Esta propiedad establece que el logaritmo natural de un producto es igual a la suma de los logaritmos naturales de los factores.

Logaritmo natural de un producto ejemplos

Ejemplo 1. \[\ln(2\cdot 3)=\ln(2)+\ln(3)\] Ejemplo 2. \[\begin{aligned}\ln(4)+\ln(8)&=\ln(4\cdot 8)\\&=\ln(32)\end{aligned}\]

Logaritmo natural de un cociente

Propiedad del logaritmo natural de un cociente: Para \(x, y >0\) se cumple que: \[\ln{\left(\frac{x}{y}\right)}=\ln(x)-\ln(y)\] Esta propiedad establece que el logaritmo natural de un cociente es igual al logaritmo natural del dividendo menos el logaritmo natural del divisor.

Logaritmo natural de un cociente ejemplos

Ejemplo 3. \[\ln\left(\frac{5}{3}\right)=\ln(5)-\ln(3)\] Ejemplo 4. \[\ln(15)-\ln(4)=\ln{\left(\frac{15}{4}\right)}\]

Logaritmo natural de una potencia

Propiedad del logaritmo natural de una potencia: Para \(x>0\) y \(n\) un número natural, se cumple que: \[\ln(x^n)=n\cdot\ln(x)\] Esta propiedad establece que el logaritmo natural de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo natural de la base de la potencia.

Logaritmo natural de una potencia ejemplos

Ejemplo 5. \[\ln\left(3^8\right)=8\cdot \ln(3)\] Ejemplo 6. \[\begin{aligned}2\cdot\ln(5)&=\ln(5^2)\\&=\ln(25)\end{aligned}\]

Logaritmo natural del recíproco

Propiedad del logaritmo natural del recíproco: Si \(x>0\), entonces: \[\ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln(x)\] Esta propiedad establece que el logaritmo natural del recíproco de \(x\), es decir, el logaritmo natural de 1/x, es igual al opuesto del logaritmo natural de \(x\).

Logaritmo natural del recíproco ejemplos

Ejemplo 7. \[\ln\left(\frac{1}{5}\right)=-\ln(5)\] Ejemplo 8. \[\ln\left(\frac{1}{10}\right)=-\ln(10)\]

Logaritmo natural de una raíz

Propiedad del logaritmo natural de una raíz: \[\ln\left(\sqrt[n]{x}\right)=\frac{1}{n}\cdot\ln(x)\] Esta propiedad establece que el logaritmo natural de una raíz es igual al producto entre el recíproco del índice de la raíz y el logaritmo natural del radicando.

Logaritmo natural de una raíz ejemplos

Ejemplo 9. \[\ln\left(\sqrt{5}\right)=\frac{1}{2}\cdot \ln(5)\] Ejemplo 10. \[\ln\left(\sqrt[3]{6}\right)=\frac{1}{3}\cdot\ln(6)\] Ejemplo 11. \[\frac{1}{4}\cdot \ln(48)=\ln\left(\sqrt[4]{48}\right)\]

Cambio de base de un logaritmo natural

Propiedad del cambio de base de un logaritmo natural: \[\log_b(x)=\frac{\ln(x)}{\ln(b)}\] Donde \(\log_b(x)\) es el logaritmo en base \(b\). Esta propiedad establece cómo convertir logaritmos naturales a logaritmos en otras bases.

Cambio de base de un logaritmo natural ejemplos

Ejemplo 12. \[\log_2(8)=\frac{\ln(8)}{\ln(2)}\] Ejemplo 13. \[\log_5(9)=\frac{\ln{9}}{\ln{5}}\] Ejemplo 14. \[\frac{\ln{3}}{\ln6}=\log_6(3)\]

Propiedades secundarias de los logaritmos naturales

Las propiedades secundarias de los logaritmos naturales se obtiene a partir de la definición de logaritmo natural. Estas son la propiedad del logaritmo natural del número uno y la propiedad del logaritmo natural de la base \(e\).

Logaritmo natural de uno

Si \(x=1\), entonces \(\ln{1}=0\). Esta propiedad establece que el logaritmo natural de uno es igual a cero. Esto se debe a que cualquier número diferente de cero elevado a un exponente cero siempre es igual a uno. En particular, al elevar el número de Euler \(e\) a un exponente cero, se obtiene como resultado uno: \(e^0=1\).

Logaritmo natural de la base e

Si \(x=e\), entonces \(\ln{e}=1\). Esta propiedad establece que el logaritmo natural de la base \(e\) es igual a uno. Esto se debe a que, al elevar cualquier número a un exponente uno, se obtiene como resultado el mismo número. En particular, al elevar el número de Euler \(e\) a un exponente uno, se obtiene como resultado el mismo número de Euler \(e\): \(e^1=e\).

¿Cuál es la diferencia entre los logaritmos naturales y otros logaritmos?

La principal diferencia entre los logaritmos naturales \(\ln(x)\) (logaritmos en base \(e\)) y otros logaritmos, como los logaritmos en base \(10\) o en base \(2\), radica en la base utilizada en el cálculo del logaritmo.

Propiedades del logaritmo natural ejercicios para practicar

Ejercicio 1. Calcular el siguiente logaritmo natural: \[\ln(2\cdot 5)-\ln(10)\]

Ejercicio 2. Simplificar el siguiente logaritmo natural: \[\ln\left(\frac{e^4}{e^2}\right)\]

Ejercicio 3. Resolver para \(x\) la siguiente expresión: \[\ln(x)+\ln(e^2)=3\ln(2)\]

Ejercicio 4. Simplificar la siguiente diferencia de logaritmos naturales: \[2\ln(3)-\ln(9)\]

Ejercicio 5. Hallar el valor de \(x\) en la siguiente expresión: \[\ln(x^2)=2\ln(5)\]

Ejercicio 6. Simplificar la siguiente expresión aplicando las propiedades del logaritmo natural: \[\ln(7)-\ln\left(\frac{1}{7}\right)\]

Ejercicio 7. Calcular el valor de la siguiente diferencia de logaritmos naturales: \[\ln(e^3)-\ln(1)\]

Ejercicio 8. Hallar el valor de \(x\) en la siguiente igualdad: \[\ln(2x)=\ln(4)\]

Ejercicio 9. Simplifique la siguiente operación de logaritmos naturales: \[\ln\left(\frac{e^3}{e}\right)+\ln(10)\]