Forma general de la función cuadrática
La forma general de una función cuadrática es: \[f(x)=ax^2+bx+c\]
Las letras a, b y c se llaman coeficientes de la función, y la letra x representa la variable independiente de la función.
Coeficientes de la función cuadrática
Ejemplo 1. Dada la función cuadrática: \(f(x)=2x^2+3x-10\) determina los valores de los coeficientes a, b y c.
Solución. Como se mencionó anteriormente, la forma general de una función cuadrática es: \[f(x)=ax^2+bx+c\] Donde a, b y c se denominan coeficientes. Observa que a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es el término constante de la función cuadrática. De esta manera, de la función cuadrática \(f(x)=2x^2+3x-10\) obtenemos que a=2, b=3 y c=-10.
Ejemplo 2. Dada la siguiente función cuadrática determina los valores de los coeficientes a, b y c. \[g(x)=-8x^2+32x\]
Solución. Para determinar los valores de los coeficientes de a, b y c, simplemente debes recordar que a es el coeficiente del término cuadrático, b es el coeficiente del término lineal y c es el término constante. De esta manera, de la función cuadrática \(g(x)=-8x^2+32x\) obtenemos que los valores de los coeficientes son: a=-8, b=32 y c=0.
Gráfica de la función cuadrática
La gráfica de la función cuadrática en el plano cartesiano es una parábola.
Función cuadrática características
Las funciones cuadráticas, representadas por la forma general \(f(x)=ax^2+bx+c\), exhiben una variedad de características distintivas. Su gráfico adopta la forma de una parábola, cuya orientación o concavidad depende del signo de a.
El vértice de la parábola, determinado por las coordenadas (h,k), donde \(h=-\frac{b}{2a}\), es crucial para comprender su comportamiento.
El eje de simetría, una línea vertical que pasa por el vértice, tiene una ecuación asociada \(x=-\frac{b}{2a}\).
Las intersecciones con los ejes x e y ofrecen información sobre la función, mientras que el signo de a dicta la dirección de apertura de la parábola.
Su dominio es \(\mathbb{R}\), y el rango varía según la dirección de apertura.
Veamos a continuación de manera detallada cada una de estas características, así como una serie de ejemplos para que comprendas mejor cada concepto.
Orientación o concavidad de una parábola
Dada la función cuadrática \(f(x)=ax^2+bx+c\), el signo del coeficiente a indica la orientación de la parábola, es decir, indica si se trata de una función convexa o cóncava.
- Si a > 0, la parábola se abre hacia arriba, lo que significa que es convexa.
- Si a < 0, la parábola se abre hacia abajo, indicando que es cóncava.
Además de la orientación, el valor absoluto del coeficiente a determina la amplitud de la función. Cuanto mayor sea |a|, la gráfica será más cerrada, mientras que cuanto menor sea |a|, la gráfica será más abierta.
Ejemplo 3. Determina si la función cuadrática es convexa o cóncava: \[f(x)=2x^2+3x-10\]
Solución: Dado que el signo del coeficiente a determina la orientación de la parábola, simplemente debemos identificar el valor de este coeficiente en la función cuadrática dada. En este caso, observamos que a=2, lo cual indica que la gráfica de la función cuadrática dada se abre hacia arriba, lo que significa que es convexa.
Ejemplo 4. Determina si la función cuadrática es cóncava o convexa: \[g(x)=-8x^2+32x\]
Solución: Recordando que el signo del coeficiente a determina la orientación de la parábola, y que si a es mayor a cero, la parábola se abre hacia arriba, indicando que la función es convexa. En cambio, si a es menor a cero, la parábola se abre hacia abajo, sugiriendo que la función es cóncava. En este caso, dado que a=-8, la función es cóncava.
Vértice de una parábola
Dependiendo de la orientación de la parábola, esta presenta un punto en el plano cartesiano que representa un valor mínimo si la parábola se abre hacia arriba (convexa) o un valor máximo si la parábola se abre hacia abajo (cóncava). A este punto se le denomina vértice de la parábola, y sus coordenadas se puede determinar mediante la expresión:
Ejemplo 5. Determina el vértice de la función cuadrática: \[f(x)=2x^2+3x-10\]
Solución: De acuerdo con la información anterior, las coordenadas del vértice de una función cuadrática son: \[\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\]
En el ejemplo 3, se determinó que la función cuadrática \(f(x)=2x^2+3x-10\) es una función convexa, por lo que el vértice es un valor mínimo. Para hallar las coordenadas del vértice, simplemente sustituimos los valores de a y b en la expresión anterior.
En el ejemplo 1, encontramos que: a=2, b=3 y c=-10. Así, la primera coordenada del vértice es: \[\begin{aligned}-\frac{b}{2a}&=-\frac{3}{2(2)}\\&=-\frac{3}{4}\end{aligned}\]
La segunda coordenada del vértice es:
Por tanto, el vértice es el punto: \[\left(-\frac{3}{4}, -\frac{89}{8}\right)\]
Ejemplo 6. Determina las coordenadas del vértice de la función cuadrática: \[g(x)=-8x^2+32x\]
Solución: En el ejemplo 4, se determinó que la función cuadrática \(g(x)=-8x^2+32x\) es una función cóncava, lo que indica que el vértice es un valor máximo. Dado que las coordenadas del vértice de una función cuadrática son: \[\left(-\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right)\right)\]
Simplemente debemos sustituir los valores de a y b. En el ejemplo 2, encontramos que los valores de estos coeficientes en la función son a=-8 y b=32.
La primera coordenada del vértice es: \[\begin{aligned}-\frac{b}{2a}&=-\frac{32}{2(-8)}\\&=-\frac{32}{-16}\\&=2\end{aligned}\]
La segunda coordenada del vértice es:
Por lo tanto, el vértice es el punto: (2, 32).
Eje de simetría de una parábola
El eje de simetría de una parábola es una línea vertical, paralela al eje y, que atraviesa la gráfica de tal manera que cada rama de la parábola, separada por el eje, es el "reflejo" de la otra. Este eje de simetría intercepta la parábola en su vértice y corta al eje x en el valor de x que representa la abscisa del vértice.
La fórmula que describe este valor de x, conocida como la Ecuación del Eje de Simetría, es: \[x=-\frac{b}{2a}\]
Ejemplo 7. Determina el eje de simetría de la parábola definida por la función cuadrática: \[f(x)=2x^2 3x-10\]
Solución: Los coeficientes de la función cuadrática son a=2, b=3 y c=-10. Al sustituir los valores de a y b en la ecuación del eje de simetría, obtenemos: \[\begin{aligned}x&=-\frac{b}{2a}\\&=-\frac{3}{2(2)}\\&=-\frac{3}{4}\end{aligned}\]
De esta manera, determinamos que el eje de simetría de la parábola definida por la función \(f(x)=2x^2+3x-10\) se encuentra en \(x=-\frac{3}{4}\).
Ejemplo 8. Determina el eje de simetría de la parábola definida por la función cuadrática: \[g(x)=-8x^2+32x\]
Solución: De manera más directa, el eje de simetría intercepta la parábola en su vértice. Si conocemos la coordenada x del vértice, entonces ese valor también representa la ubicación del eje de simetría. Según el ejemplo 6, la coordenada x del vértice de la parábola es x=2. Por lo tanto, el eje de simetría de la parábola definida por la función \(g(x)=-8x^2+32x\) se encuentra en x=2.
Intersección con el eje y
Para determinar la intersección con el eje y, simplemente evaluamos x=0 en la función cuadrática: \[f(x)=ax^2+bx+c\] Es decir: \[\begin{aligned}f(0)&=a(0)^2+b(0)+c\\&=c\end{aligned}\] De esta manera, obtenemos que la parábola intercepta al eje y en el punto (0, c).
Ejemplo 9. Determina la intersección con el eje y de la parábola dada por: \[f(x)=2x^2+3x-10\]
Solución: Para determinar la intersección de la parábola con el eje y, simplemente debes identificar el valor del término constante c en la función. En este caso, de acuerdo con el ejemplo 1, el valor de c es c=-10. Por lo tanto, la parábola definida por la función cuadrática \(f(x)=2x^2+3x-10\) intercepta al eje y en y=-10.
Ejemplo 10. Determina la intersección con el eje y de la parábola dada por la función cuadrática: \[g(x)=-8x^2+32x\]
Solución: Dado que la parábola intercepta al eje y en el punto (0, c), simplemente debemos identificar el valor del término constante en la función. De acuerdo con el ejemplo 2, el valor de c es c=0. En este caso, la parábola definida por la función cuadrática \(g(x)=-8x^2+32x\) intercepta al eje y en y=0. En otras palabras, la parábola pasa por el origen de coordenadas (0, 0).
Intersección con el eje x
Las raíces o ceros de la función cuadrática son los valores de x para los cuales f(x)=0. Para determinar la intersección con el eje x, se iguala la función a cero y se resuelve la ecuación cuadrática.
Dado que una ecuación cuadrática puede tener una, dos o ninguna solución, entonces puede haber uno, dos o ningún punto de intersección con el eje x.
La fórmula general para resolver una ecuación cuadrática en su forma estándar es:
Algebraicamente, se puede determinar rápidamente si una función tiene o no intersecciones con el eje x. Para ello, basta analizar el signo de la discriminante.
La expresión \(b^2-4ac\) en la fórmula general recibe el nombre de discriminante de la ecuación cuadrática. El número y tipo de soluciones de una ecuación cuadrática dependen del valor de este discriminante:
- Si \(b^2-4ac>0\), la ecuación cuadrática tiene dos soluciones reales. La gráfica de la función intercepta dos veces al eje x.
- Si \(b^2-4ac=0\), la ecuación tiene sólo una solución real. La gráfica intercepta al eje x en un punto (el vértice).
- Si \(b^2-4ac<0\), la ecuación cuadrática no tiene raíces que sean números reales, por lo que la solución corresponde a dos números complejos. La gráfica de la función no intercepta al eje x.
Ejemplo 11. Determinar los puntos de intersección con el eje x de la función: \[f(x)=2x^2+3x-10\]
Solución: Al igualar a cero la función cuadrática, obtenemos la ecuación cuadrática: \[2x^2+3x-10=0\]
Para resolver esta ecuación, aplicamos la fórmula general para ecuaciones cuadráticas en su forma estándar, que se define como: \[x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
En este ejemplo, los valores de los coeficientes de la función cuadrática son: a=2, b=3 y c=-10. Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
De esta manera, encontramos que los valores de x que satisfacen la ecuación son: \[\begin{aligned}x_1 &=\frac{-3+\sqrt{89}}{4}\\&=1.608\\x_2&=\frac{-3-\sqrt{89}}{4}\\&=-3.108\end{aligned}\]
Por tanto, los puntos de corte de la función con el eje x son: (-3.108, 0) y (1.608, 0).
Ejemplo 12. Determina los puntos de intersección con el eje x de la parábola dada por la función cuadrática: \[g(x)=-8x^2+32x\]
Solución: El proceso para determinar los puntos de intersección con el eje x de una función cuadrática implica encontrar los valores de x que hacen que la ecuación cuadrática asociada a la función sea igual a cero. En este caso, al igualar a cero la función cuadrática, obtenemos la ecuación cuadrática: \[-8x^2+32x=0\]
Para resolver esta ecuación, aplicamos la fórmula general: \[x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
En este caso, los valores de los coeficientes de la función cuadrática son: a=-8, b=32 y c=0. Sustituyendo estos valores en la fórmula general, obtenemos:
De esta manera, encontramos que los valores de x que satisfacen la ecuación son: \[\begin{aligned}x_1&=\frac{-32+32}{-16}\\&=0\\x_2&=\frac{-32-32}{-16}\\&=\frac{-64}{-16}\\&=4\end{aligned}\]
Por tanto, los puntos de intersección de la parábola con el eje x son: (0, 0) y (4, 0).
Gráfica de la función cuadrática ejemplos
Ejemplo 13. Realiza la gráfica de la función cuadrática: \[f(x)=2x^2+3x-10\]
Solución. La función cuadrática \(f(x)=2x^2+3x-10\) representa una parábola que se abre hacia arriba, dado que el coeficiente principal a es positivo (a=2).
El vértice de la parábola se localiza en el punto \(\left(-\frac{3}{4}, -\frac{89}{8}\right)\).
El eje de simetría corresponde a \(x=-\frac{3}{4}\).
El punto de intersección con el eje y se encuentra en y=-10, y los puntos de corte de la función con el eje x son (-3.108, 0) y (1.608, 0).
La dirección de apertura, las intersecciones con los ejes, el vértice y el eje de simetría son elementos clave para trazar la gráfica de esta función cuadrática. A continuación, se presenta la gráfica correspondiente de esta función cuadrática.
Ejemplo 14. Realiza la gráfica de la función cuadrática: \[g(x)=-8x^2+32x\]
Solución. La función cuadrática \(g(x)=-8x^2+32x\) representa una parábola que se abre hacia abajo debido a su coeficiente principal a=-8.
El vértice de la parábola se encuentra en el punto (2, 32), indicando que la parábola alcanza su valor mínimo en este punto.
Las intersecciones con el eje x se ubican en (0, 0) y (4, 0), mientras que la intersección con el eje y es (0, 0).
El eje de simetría de la parábola está dado por x=2.
Esta información es esencial para trazar la gráfica de la función cuadrática y entender su comportamiento. A continuación, se presenta la gráfica correspondiente de esta función cuadrática.
Preguntas Frecuentes (FAQ) - Función Cuadrática
¿Qué es una función cuadrática y cuál es su forma general? La función cuadrática es una expresión matemática de segundo grado, generalmente escrita como \(f(x)=ax^2+bx+c\), donde a, b, y c son coeficientes constantes.
¿Cómo se grafica una función cuadrática? Puedes graficar una función cuadrática identificando el vértice, el eje de simetría y usando puntos adicionales. La concavidad de la parábola depende del signo de a.
¿Cuáles son los métodos para encontrar las raíces de una función cuadrática? Las raíces de una función cuadrática se pueden encontrar usando la fórmula cuadrática: \[\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
¿Cómo determinar el vértice de una parábola cuadrática? El vértice de una parábola cuadrática se puede encontrar usando la fórmula \(h=-\frac{b}{2a}\), y luego evaluando f(h) para obtener el valor de k.
¿Cuáles son las propiedades del eje de simetría en una función cuadrática? El eje de simetría de una parábola cuadrática es \(x=-\frac{b}{2a}\) y pasa por el vértice, dividiendo la parábola en dos partes simétricas.
¿Qué significa el discriminante en la fórmula cuadrática y cómo afecta a las soluciones? El discriminante (\(b^2-4ac\)) determina la naturaleza de las soluciones. Si es positivo, hay dos soluciones reales, si es cero, hay una solución real, y si es negativo, las soluciones son complejas conjugadas.
¿Cómo afectan los coeficientes a, b, y c en la gráfica de una función cuadrática? El coeficiente a determina la dirección de apertura de la parábola, b afecta la posición del vértice, y c representa la intersección con el eje y.
¿Cuáles son algunas estrategias para factorizar una función cuadrática? Puedes factorizar una función cuadrática utilizando métodos como factorización por agrupación, diferencia de cuadrados, y trinomios cuadrados perfectos.
¿Cómo puedo resolver problemas prácticos utilizando funciones cuadráticas? Puedes resolver problemas del mundo real utilizando funciones cuadráticas al identificar el modelo adecuado y aplicar conceptos como el vértice, las raíces y la interpretación de la gráfica.