La función exponencial es una función matemática fundamental que se define por ecuaciones en las que la variable independiente \(x\) aparece como exponente.

Fórmula de la función exponencial

La fórmula general de una función exponencial es:

Función exponencial

En esta fórmula:

  • \(x\) es la variable independiente de la función.
  • \(y=f(x)\) es el valor de la función en \(x\).
  • \(a\) es el coeficiente inicial de la función.
  • \(b\) es la base de la exponenciación. \(b\) es un número mayor a cero y diferente de uno.

La base \(b\) determina el comportamiento específico de la función exponencial. Si \(b>1\), la función será creciente a medida que \(x\) aumenta. Si \(0<b<1\), la función será decreciente a medida que \(x\) aumenta.

Función exponencial creciente y decreciente con "a" mayor que cero

El coeficiente inicial \(a\), afecta la posición vertical de la gráfica de la función en relación con el eje \(y\). Además, el signo de este coeficiente determina la orientación de la gráfica.

Función exponencial creciente y decreciente con "a" menor que cero

Un caso especial es la función exponencial con base \(e\), el número irracional conocido como número de Euler. Esta función se denota comúnmente como \(f(x)=e^x\), y es de particular importancia en matemáticas y ciencias naturales.

Ejemplos de funciones exponenciales

Ejemplos: \[\begin{aligned}f(x)&=3\cdot 2^x\\g(x)&=2\left(\frac{1}{3}\right)^x\\p(x)&=-2\cdot 4^x\\q(x)&=-\left(\frac{1}{2}\right)^x\end{aligned}\]

Función exponencial dominio y rango

Para entender el dominio y el rango de una función, es útil recordar que el dominio de una función es el conjunto de todos los valores que la variable independiente \(x\) puede tomar, y el rango es el conjunto de todos los valores de la variable dependiente \(y\) que se pueden obtener al evaluar \(x\) en la función.

Dominio de la función exponencial

En el caso de la función exponencial \(f\) definida como \(f(x)=a\cdot b^x\), el dominio es el conjunto de todos los números reales. Esto se debe a que la función está bien definida para cualquier valor de número real asignado a \(x\), es decir, no hay restricciones en los valores que \(x\) puede tomar. Entonces, el dominio de la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\) es el conjunto de los números reales \(\mathbb{R}\).

Para el caso de funciones exponenciales definidas como \(f(x)=a\cdot b^{g(x)}\), el dominio de \(f\) coincidirá con el dominio de la función \(g\).

Ejemplo 1. Determina el dominio de la función exponencial \(f\) definida como: \[f(x)=3\cdot 2^{\frac{1}{x}}\]

Solución: Observa que la función \(f\) se puede escribir como \(f(x)=a\cdot b^{g(x)}\). Si \(g(x)=1/x\), entonces: \[\begin{aligned}f(x)&=3\cdot 2^{\frac{1}{x}}\\&=3\cdot 2^{g(x)}\end{aligned}\]

Como el dominio de la función \(g\) es \(\mathbb{R}-0\), entonces el dominio de la función \(f\) también será \(\mathbb{R}-0\).

Rango de la función exponencial

El rango de la función exponencial \(f\) definida como \(f(x)=a\cdot b^x\) depende del valor de la base \(b\) y del signo de \(a\).

  • Si \(a\) es positivo y \(b\) es mayor que 1, la función asigna a \(y\) todos los números reales positivos. En este caso se tiene una función creciente.
  • Si \(a\) es positivo y \(0<b< 1\), nuevamente la función asigna a \(y\) todos los números reales positivos, pero en este caso, la función será decreciente.

En términos generales, el rango de la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\) será \((0, +\infty)\) si \(a>0\) y \(b>1\), o si \(a>0\) y \(0<b<1\).

Rango de una función creciente
  • Si \(a\) es negativo y \(b\) es mayor que 1, la función asigna a \(y\) todos los números reales negativos. En este caso se tiene una función decreciente.
  • Si \(a\) es negativo y \(0<b< 1\), nuevamente la función asigna a \(y\) todos los números reales negativos, pero en este caso, la función será creciente.

En términos generales, el rango de la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\) será \((-\infty, 0)\) para cuando \(a<0\) y \(b>1 \) o para cuando \(a<0\) y \(0<b<1\).

Rango de una función decreciente

Para una función exponencial \(f\) definida como \(f(x)=a\cdot b^x+d\), el valor \(d\) indica un desplazamiento vertical de \(d\) unidades en la misma dirección que el signo. Por lo tanto, el rango de la función queda determinado como \((d, \infty)\) o \((d, -\infty)\).

Ejemplo 2: Determina el rango de la función \(s\) definida como \[s(x)=4\cdot 6^x-2\]

Solución: Observa que tenemos una función exponencial del tipo \(f(x)=a\cdot b^x+d\). Dado que \(a\) es positivo \((a=4)\) y \(b\) es mayor que uno \((b=6)\), la función es creciente. Además, el valor \(d=-2\) indica que la gráfica de la función se ha desplazado dos unidades hacia abajo, es decir, a \(y=-2\). Por lo tanto, el rango de la función \(s\) es \((-2, \infty)\).

Gráfica de la función exponencial

La representación gráfica de una función exponencial es una herramienta útil para visualizar su comportamiento. La forma general de una función exponencial es \(f(x)=a\cdot b^x\), donde \(a\) es el coeficiente inicial y \(b\) es la base de la exponenciación.

A continuación, te presentamos algunas características generales de la gráfica de una función exponencial.

Características de la función exponencial

Crecimiento o decrecimiento de la función exponencial

  • Si \(a>0\) y \(b>1\), la función experimenta un crecimiento exponencial a medida que \(x\) aumenta.
  • Si \(a>0\) y \(0<b<1\), la función experimenta un decrecimiento exponencial a medida que \(x\) aumenta.
  • Si \(a<0\) y \(b>1\), la función experimenta un decrecimiento exponencial a medida que \(x\) aumenta.
  • Si \(a<0\) y \(0<b<1\), la función experimenta un crecimiento exponencial a medida que \(x\) aumenta.

Intersección de la función exponencial con el eje y

La función exponencial intercepta al eje \(y\) cuando \(x=0\). Si tenemos la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\), entonces: \[\begin{aligned}f(0)&=a\cdot b^0\\&=a\cdot 1\\&=a\end{aligned}\]

Por lo tanto, la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\) intercepta al eje \(y\) en \(y=a\), es decir, en el valor del coeficiente inicial.

En general, para hallar la intersección de una función exponencial con el eje \(y\), simplemente se debe evaluar dicha función en \(x=0\). Es por ello por lo que se generaliza que una función exponencial intercepta al eje \(y\) cuando \(x=0\).

Intersección de la función exponencial con el eje x

La función exponencial intercepta al eje \(x\) cuando \(f(x)=0\), pero no siempre una función exponencial puede interceptar dicho eje. Si tenemos la función exponencial \(f\) definida como \(f(x)=a\cdot b^x\), entonces: \[\begin{aligned}f(x)&=0\\a\cdot b^x&=0\\b^x&=0\end{aligned}\]

Observa que no existe ningún valor de \(b\) que, elevado a algún exponente \(x\), dé como resultado cero. Esto se debe principalmente a que, de acuerdo con la definición de función exponencial, \(b\) debe ser mayor a cero y diferente de uno.

No obstante, si la función exponencial \(f\) está definida como \(f(x)=a\cdot b^x+c\), y se cumple que \(-\frac{c}{a}\) es mayor a cero, entonces la función si puede interceptar el eje \(x\). Es decir: \[\begin{aligned}f(x)&=0\\a\cdot b^x+c&=0\\b^x&=-\frac{c}{a}\end{aligned}\]

Ejemplo 3. Determina el punto de intersección con el eje \(x\) de la función exponencial \(s\) definida como: \[s(x)=4\cdot 6^x-2\]

Solución: Una función exponencial intercepta el eje \(x\) si existen valores de \(x\) para los cuales \(f(x) = 0\). Es decir, debemos resolver la ecuación exponencial para hallar los valores de \(x\) que satisfacen la igualdad:

\[\begin{aligned}s(x)&=0\\4\cdot 6^x-2&=0\\4\cdot 6^x&=2\\6^x&=\frac{2}{4}\\6^x&=\frac{1}{2}\\log_6{6^x}&=\log_6\frac{1}{2}\\x\cdot\log_6{6}&=\log_6\frac{1}{2}\\x\cdot 1&=\log_6\frac{1}{2}\\x&=\log_6(1)-\log_6(2)\\x&=0-\log_6(2)\\x&=-\log_6(2)\\x&\approx -0.38685\end{aligned}\]

Por lo tanto, la función intercepta al eje \(x\) en \(x\approx -0.38685\).

Intersección con los ejes de coordenadas de una función exponencial

Simetría y función inversa de la función exponencial

La función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\) no presenta simetría par ni impar, es decir, no es simétrica con respecto al eje \(y\) ni al eje \(x\).

Monotonía de la función exponencial

La función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\) es una función monótona, es decir, la función es creciente o decreciente a medida que el valor de \(x\) aumenta. Esto dependiendo del valor de la base \(b\) y del signo de \(a\).

  • Si \(a\) es positivo y \(b\) es mayor que 1, a medida que \(x\) aumenta, la función es creciente.
  • Si \(a\) es positivo y \(0<b<1\), a medida que el valor de \(x\) aumenta, la función es decreciente.
  • Si \(a\) es negativo y \(b\) es mayor que 1, a medida que \(x\) aumenta, la función es decreciente.
  • Si \(a\) es negativo y \(0<b<1\), a medida que el valor de \(x\) aumenta, la función es creciente.

Límites de una función exponencial

Para una función exponencial \(f\) definida como \(f(x)=a\cdot b^x\) el valor del límite cuando \(x\) tiende a \(\infty\) o \(-\infty\) depende del valor de \(a\) y de \(b\).

  • Si \(a>0\) y \(b>1\), entonces: \[\begin{aligned}\lim_{x\to \infty}f(x)&=\infty\\\lim_{x\to -\infty}f(x)&=0\end{aligned}\]
  • Si \(a>0\) y \(0<b<1\), entonces: \[\begin{aligned}\lim_{x\to \infty}f(x)&=0\\\lim_{x\to -\infty}f(x)&=\infty\end{aligned}\]
  • Si \(a<0\) y \(b>1\), entonces: \[\begin{aligned}\lim_{x\to \infty}f(x)&=-\infty\\\lim_{x\to -\infty}f(x)&=0\end{aligned}\]
  • Si \(a<0\) y \(0<b<1\), entonces: \[\begin{aligned}\lim_{x\to \infty}f(x)&=0\\\lim_{x\to -\infty}f(x)&=-\infty\end{aligned}\]

Aplicaciones de la función exponencial

Veamos ahora algunos ejemplos de funciones exponenciales para ilustrar cómo se aplican en diferentes contextos. Recordemos que una función exponencial tiene la forma \(f(x)=a\cdot b^x\), donde \(a\) es el coeficiente inicial y \(b\) es la base de la exponenciación.

Ejemplo 1. Crecimiento exponencial: Consideremos la función exponencial \(f\) definida por: \[f(x)=2\cdot 3^x\]

En este caso, la base \(b\) es 3, lo que indica que la función es creciente, es decir, representa un crecimiento exponencial. Cada vez que \(x\) aumenta en 1 unidad, \(f(x)\) se multiplica por 3.

Ejemplo 2. Decaimiento exponencial: Ahora, observemos la función exponencial \(g\) definida como \[g(x)=5\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x\]

En este caso, el valor de \(b\) es \(b=\frac{1}{2}\), es decir, \(0<b<1\), lo que indica que la función es decreciente y representa un decaimiento exponencial. Cada vez que \(x\) aumenta en 1 unidad, \(g(x)\) se multiplica por \(\frac{1}{2}\), resultando en una reducción del valor inmediato anterior.

Ejemplo 3. Modelo financiero: Consideremos la función \(P\) definida como: \[P(t)=1000\cdot 1.05^t\]

Donde \(P(t)\) es el valor de una inversión después de \(t\) años con una tasa de interés del 5%. Esta función representa un crecimiento exponencial, ya que \(b=1.05\), es decir, \(b\) es mayor a uno.

Función exponencial y logarítmica

La función exponencial y logarítmica son inversas entre sí, es decir, la función exponencial es la inversa de la función logarítmica, y la función logarítmica es la inversa de la función exponencial.

La función exponencial

La fórmula general de una función exponencial es \(f(x)=a\cdot b^x\), donde \(a\) es el coeficiente inicial de la función y \(b\) es la base de la exponenciación.

La función logarítmica

El logaritmo base \(b\) de \(x\) es el exponente \(y\) al cual debe elevarse \(b\) para obtener \(x\). Matemáticamente: \[\log_b(x)=y \Leftrightarrow b^y=x\]

Función inversa de la función exponencial

La función logarítmica es la inversa de la función exponencial. Si \(f(x)=a\cdot b^x\), donde \(a\) y \(b\) son constantes positivas con \(b \neq 1\), entonces la función inversa es: \[f^{-1}(x)=\log_b\left(\frac{x}{a}\right)\]

Demostración: Supongamos que tenemos la función exponencial \(f\) definida como \(f(x)=a\cdot b^x\). Al hacer \(y=f(x)\), obtenemos: \[y=a\cdot b^x\]

Al intercambiar \(x\) por \(y\), obtenemos: \[x=a\cdot b^y\]

Ahora resolvamos esta ecuación para \(y\): \[\begin{aligned}x&=a\cdot b^y\\\frac{x}{a}&=b^y\end{aligned}\]

Aplicando logaritmo base \(b\) en ambos miembros de la igualdad, obtenemos:

\[\begin{aligned}\frac{x}{a}&=b^y\\\log_b\frac{x}{a}&=\log_b(b^y)\end{aligned}\]

Por las propiedades de los logaritmos: \(\log_b(b^y)=y\log_b(b)\), entonces:

\[\begin{aligned}\log_b\frac{x}{a}&=\log_b(b^y)\\\log_b\frac{x}{a}&=y\log_b(b)\\\log_b\frac{x}{a}&=y\end{aligned}\]

Por lo tanto, la función inversa de la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\) es: \[f^{-1}(x)=\log_b\left(\frac{x}{a}\right)\]

Es importante destacar que la función inversa solo está definida para valores de \(x\) que hagan que \(\frac{x}{a}\) sea positivo, ya que el logaritmo de un número no está definido en los reales si el argumento no es positivo. Por lo tanto, la función inversa \(f^{-1}(x)\) solo estará definida para \(x\) en el rango donde \(\frac{x}{a} > 0\).

Las funciones exponenciales modelan fenómenos de crecimiento o decaimiento, mientras que las funciones logarítmicas proporcionan una forma de revertir el proceso exponencial.

Preguntas frecuentes

¿Qué es una función exponencial? Una función exponencial es una función matemática de la forma \(f(x)=a\cdot b^x\), donde \(a\) es el coeficiente inicial, \(b\) es la base de la exponenciación, y \(x\) es la variable independiente.

¿Cómo graficar una función exponencial? Para graficar una función exponencial, elige valores de \(x\), calcula los correspondientes valores de \(f(x)\) utilizando la fórmula, y luego representa estos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas.

¿Cuál es la diferencia entre crecimiento y decrecimiento exponencial? En una función exponencial, si la base \(b\) es mayor a uno, la función experimenta crecimiento exponencial a medida que \(x\) aumenta. Si la base \(b\) es mayor a cero y menor que uno, la función experimenta decrecimiento exponencial.

¿Cuál es la importancia de las funciones exponenciales? Las funciones exponenciales son fundamentales en modelización matemática y se aplican en campos como finanzas, biología, física y economía para describir fenómenos de crecimiento o decaimiento exponencial.

¿Cómo se relacionan las funciones exponenciales y logarítmicas? Las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí. Si \(y=\log_b(x)\), entonces \(b^y=x\). La propiedad fundamental es: \[b^{\log_b(x)}=x\]

¿Cuál es el dominio y rango de una función exponencial? El dominio de una función exponencial es \(\mathbb{R}\) (todos los números reales), y el rango depende de la base \(b\) y del coeficiente inicial \(a\).

¿Cuál es el dominio de la función exponencial? Para la función exponencial \(f(x)=a\cdot b^x\), el dominio es el conjunto de todos los números reales (\(\mathbb{R}\)), ya que la función está definida para cualquier valor real de \(x\).

¿Cuál es el rango de la función exponencial? El rango de la función exponencial depende de la base \(b\) y del signo de \(a\). En términos generales, si \(a\) es positivo y \(b\) es mayor que 1, o \(a\) es positivo y \(0<b< 1\), entonces el rango será \((0, +\infty)\). Esto significa que la función exponencial toma todos los valores positivos reales, pero nunca alcanza el cero y se aproxima a cero a medida que \(x\) tiende hacia el infinito negativo o positivo, según el caso. Si \(a\) es negativo y \(b\) es mayor que 1, o \(a\) es positivo y \(0<b<1\), entonces el rango será \((-\infty, 0)\)

¿Cómo se calcula la media vida en el contexto de una función exponencial? En el caso de decaimiento exponencial, la media vida (\(T_{1/2}\)) se calcula como \(\frac{\ln(2)}{\ln(b)}\), donde \(\ln\) es el logaritmo natural.

¿Cuáles son las propiedades de las funciones exponenciales? Las funciones exponenciales tienen propiedades como crecimiento o decrecimiento exponencial, intercepto y comportamiento asintótico, invariancia por escala, regla del producto y cociente, y límites.

¿Cuáles son las aplicaciones de las funciones exponenciales en la economía? Las funciones exponenciales se utilizan en economía para modelar el crecimiento económico, la depreciación de activos, la inflación, y otros fenómenos financieros.

¿Cómo se resuelven ecuaciones exponenciales? Las ecuaciones exponenciales se resuelven aplicando propiedades de logaritmos o manipulando la ecuación para igualar las bases y resolver para la variable.

¿Puede una función exponencial tener un resultado negativo? Sí, una función exponencial puede tener un resultado negativo si el coeficiente inicial \(a\) es negativo y la base \(b\) es un número impar.