Razón trigonométrica
Una razón trigonométrica es una relación matemática entre los lados de un triángulo y sus ángulos. Las razones trigonométricas fundamentales están basadas en un triángulo rectángulo.
Para establecer las razones trigonométricas en cualquier triángulo rectángulo, es necesario conocer sus elementos.
Triángulo rectángulo
Un triángulo rectángulo es un tipo específico de triángulo que tiene un ángulo recto, es decir, la medida de uno de sus ángulos es de 90 grados.
Las propiedades fundamentales de un triángulo rectángulo son:
- Ángulo recto: Uno de los ángulos del triángulo mide 90 grados.
- Catetos: Son los dos lados que forman el ángulo recto.
- Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto, y es siempre el lado más largo en un triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo
Cateto adyacente y cateto opuesto
En un triángulo rectángulo, los catetos son los dos lados que forman el ángulo recto. Hay dos catetos en un triángulo rectángulo, y se denominan "cateto adyacente" y "cateto opuesto" en relación con un ángulo agudo específico del triángulo.
- Cateto Adyacente: El cateto adyacente a un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es el lado que forma el ángulo recto junto con el ángulo agudo en cuestión.
- El cateto opuesto a un ángulo agudo en un triángulo rectángulo es el lado que no forma el ángulo recto y está opuesto al ángulo agudo en cuestión.
En el siguiente triángulo rectángulo, si consideramos el ángulo \(\alpha\) tendremos:
- El cateto adyacente al ángulo \(\alpha\) es el lado de longitud \(A\).
- El cateto opuesto al ángulo \(\alpha\) es el lado de longitud \(B\).
En el mismo triángulo rectángulo, si consideramos el ángulo \(\theta\) tendremos:
- El cateto adyacente al ángulo \(\theta\) es el lado de longitud \(B\).
- El cateto opuesto al ángulo \(\theta\) es el lado de longitud \(A\).
Estas definiciones son fundamentales para comprender las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo y se utilizan para expresar relaciones matemáticas entre los ángulos y los lados del triángulo.
Razones trigonométricas
Una razón trigonométrica es el resultado de dividir dos lados de un triángulo rectángulo. Existen seis razones o funciones trigonométricas que se pueden establecer para cualquiera de los dos ángulos agudos en un triángulo rectángulo. De estas, tres son fundamentales y tres son recíprocas, como veremos a continuación.
Razones trigonométricas fundamentales
En este triángulo rectángulo, las razones trigonométricas con respecto al ángulo \(\alpha\) se definen como:
Seno
El seno del ángulo \(\alpha\) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por \(\sin{\alpha}\) y se expresa como:
Coseno
El coseno del ángulo \(\alpha\) es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Se denota por \(\cos{\alpha}\) y se expresa como:
Tangente
La tangente del ángulo \(\alpha\) es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto adyacente al ángulo. Se denota por \(\tan{\alpha}\) y se expresa como:
Nota importante: Recuerda que evaluamos siempre las razones trigonométricas con respecto a un ángulo agudo del triángulo rectángulo; en este caso, lo hemos hecho para el ángulo \(\alpha\). Si deseamos hacerlo para el ángulo agudo \(\theta\), las razones son las mismas, simplemente debemos cambiar \(\alpha\) por \(\theta\). Para que no te quede duda alguna te invito a revisar los siguientes dos ejemplos.
SOH-CAH-TOA: Una manera sencilla de recordar
Para recordar las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo, puedes utilizar la mnemotecnia SOH-CAH-TOA. Cada letra representa una de las tres funciones trigonométricas principales en relación con los lados de un triángulo rectángulo:
- SOH: Seno (\(\sin\)) es la razón entre el cateto Opuesto y la Hipotenusa.
- CAH: Coseno (\(\cos\)) es la razón entre el cateto Adyacente y la Hipotenusa.
- TOA: Tangente (\(\tan\)) es la razón entre el cateto Opuesto y el cateto Adyacente.
Entonces, la regla mnemotécnica sería: "SOH-CAH-TOA". Puedes recordar fácilmente estas relaciones pensando en la primera letra de cada palabra y la función trigonométrica correspondiente.
Por ejemplo, para recordar la definición del seno, simplemente recuerda SOH, pues la palabra seno comienza con la letra S. La O y la H hacen referencia a que el seno es la razón entre el cateto Opuesto y la Hipotenusa.
Esta regla es útil para recordar rápidamente las definiciones de estas funciones y sus relaciones con los lados de un triángulo rectángulo.
Razones trigonométricas fundamentales ejemplos
Ejemplo 1. Dado el triángulo mostrado en la figura siguiente, calcula el valor de \(\sin{\alpha}\), \(\cos{\alpha}\) y \(\tan{\alpha}\).
Solución. Para calcular el seno del ángulo \(\alpha\), observa que la longitud del cateto opuesto al ángulo \(\alpha\) es 8, y la longitud de la hipotenusa del triángulo es 17. Por lo tanto: \[\begin{aligned}\sin{\alpha}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{8}{17}\end{aligned}\]
Para calcular el coseno del ángulo \(\alpha\), observa que la longitud del cateto adyacente al ángulo \(\alpha\) es 15, y la longitud de la hipotenusa del triángulo es 17. Así que: \[\begin{aligned}\cos{\alpha}&=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{15}{17}\end{aligned}\]
Para calcular la tangente del ángulo \(\alpha\), observa que la longitud del cateto opuesto al ángulo \(\alpha\) es 8, y la longitud del cateto adyacente al ángulo \(\alpha\) es 15. Por lo tanto: \[\begin{aligned}\tan{\alpha}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\\&=\frac{8}{15}\end{aligned}\]
Ejemplo 2. Del triángulo rectángulo de la figura anterior, determina el valor del \(\sin{\theta}\), \(\cos{\theta}\) y \(\tan{\theta}\).
Solución: En este caso, se pide determinar el seno, coseno y tangente respecto al ángulo \(\theta\) del mismo triángulo rectángulo. Para calcular el seno del ángulo \(\theta\), observa que la longitud del cateto opuesto al ángulo \(\theta\) es 15, y la longitud de la hipotenusa del triángulo rectángulo es 17. Por lo tanto: \[\begin{aligned}\sin{\theta}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{15}{17}\end{aligned}\]
Para calcular el coseno de \(\theta\), observa que la longitud del cateto adyacente al ángulo \(\theta\) es 8, y la longitud de la hipotenusa del triángulo es 17. Así que: \[\begin{aligned} \cos{\theta}&=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{8}{17} \end{aligned}\]
Para calcular la tangente del ángulo \(\theta\), observa que la longitud del cateto opuesto al ángulo \(\theta\) es 15, y la longitud del cateto adyacente al ángulo \(\theta\) es 8. Por lo tanto: \[\begin{aligned}\tan{\theta}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\\&=\frac{15}{8}\end{aligned}\]
Razones trigonométricas recíprocas (inversas)
Las razones trigonométricas recíprocas, también conocidas como inversas, son funciones trigonométricas que se definen en función de las razones trigonométricas fundamentales. Hay tres razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) y sus correspondientes recíprocas. A continuación, te presentamos las razones trigonométricas recíprocas.
Cosecante
La cosecante del ángulo \(\alpha\) es la razón inversa del seno de \(\alpha\). Se denota por \(\csc{\alpha}\) y se expresa como:
Secante
La secante del ángulo \(\alpha\) es la razón inversa del coseno de \(\alpha\). Se denota por \(\sec{\alpha}\) y se expresa como:
Cotangente
La cotangente del ángulo \(\alpha\) es la razón inversa de la tangente de \(\alpha\). Se denota por \(\cot{\alpha}\) y se expresa como:
Estas funciones son llamadas recíprocas porque son el resultado de tomar el inverso de las funciones trigonométricas fundamentales.
En lugar de crear otro acrónimo para las razones trigonométricas recíprocas, es más sencillo recordar que la cosecante, secante y cotangente son los inversos multiplicativos del seno, coseno y tangente, respectivamente. Esto se detalla en la siguiente imagen.
Razones trigonométricas recíprocas (inversas) ejemplos
Ejemplo 3: Dado el triángulo rectángulo mostrado en la siguiente figura, calcula el valor de \(\csc{\alpha}\), \(\sec{\alpha}\) y \(\cot{\alpha}\).
(misma imagen que la del ejemplo uno)
Solución: En el ejemplo uno, obtuvimos las razones trigonométricas fundamentales: seno, coseno y tangente para el ángulo \(\alpha\) de este triángulo. En este caso, nos piden las razones trigonométricas recíprocas, es decir, se pide hallar el valor de la cosecante, secante y cotangente. Por lo tanto, simplemente debemos tomar el recíproco de los valores que obtuvimos en el ejemplo uno. De esta manera, obtenemos: \[\begin{aligned}\csc{\alpha}&=\frac{1}{\sin{\alpha}}=\frac{17}{15}\\\sec{\alpha}&=\frac{1}{\cos{\alpha}}=\frac{17}{8}\\\cot{\alpha}&=\frac{1}{\tan{\alpha}}=\frac{15}{8}\end{aligned}\]
Ejemplo 4. En el triángulo rectángulo de la figura anterior, se busca determinar el valor de \(\csc{\theta}\), \(\sec{\theta}\) y \(\cot{\theta}\).
Solución: En el ejemplo dos, calculamos las razones trigonométricas fundamentales (seno, coseno y tangente) para el ángulo \(\theta\) de este mismo triángulo. Ahora, debemos hallar las razones trigonométricas recíprocas, es decir, la cosecante, la secante y la cotangente. Dado que la cosecante de \(\theta\) es el recíproco del seno de \(\theta\), entonces: \[\begin{aligned}\csc{\theta} &=\frac{1}{\sin{\theta}}\\&=\frac{17}{15}\end{aligned}\]
De manera similar, como la secante de \(\theta\) es el recíproco del coseno de \(\theta\), se tiene: \[\begin{aligned}\sec{\theta}&=\frac{1}{\cos{\theta}}\\&=\frac{17}{8}\end{aligned}\]
Finalmente, como la cotangente de \(\theta\) es el recíproco de la tangente de \(\theta\), se obtiene: \[\begin{aligned}\cot{\theta}&=\frac{1}{\tan{\theta}}\\&=\frac{17}{8}\end{aligned}\]
Razones trigonométricas ejercicios resueltos
Ejercicio 1. Determina las razones trigonométricas estándar y recíprocas para el ángulo \(\alpha\) del siguiente triángulo rectángulo.
Solución: Independientemente de la rotación de un triángulo rectángulo, los catetos siguen siendo los lados que forman el ángulo recto, y la hipotenusa sigue siendo el lado más largo del triángulo. Con respecto al ángulo \(\alpha\), se obtienen los siguientes valores de las razones trigonométricas:
\[\begin{aligned}\sin{\alpha}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{4}{5}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\cos{\alpha}&=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{3}{5}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\tan{\alpha}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\\&=\frac{4}{3}\end{aligned}\]
Las razones trigonométricas recíprocas (inversas) son:
\[\begin{aligned}\csc{\alpha}&=\frac{1}{\sin{\alpha}}\\&=\frac{5}{4}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sec{\alpha}&=\frac{1}{\cos{\alpha}}\\&=\frac{5}{3}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\cot{\alpha}&=\frac{1}{\tan{\alpha}}\\&=\frac{3}{4}\end{aligned}\]
Ejercicio 2. Dado el siguiente triángulo rectángulo, determina las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente del ángulo \(\alpha\).
Solución.
\[\begin{aligned}\sin{\alpha}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{6}{10}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\cos{\alpha}&=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}}\\&=\frac{8}{10}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\tan{\alpha}&=\frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}}\\&=\frac{6}{8}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\csc{\alpha}&=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto opuesto}}\\&=\frac{10}{6}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\sec{\alpha}&=\frac{\text{hipotenusa}}{\text{cateto adyacente}}\\&=\frac{10}{8}\end{aligned}\]
\[\begin{aligned}\cot{\alpha}&=\frac{\text{cateto adyacente}}{\text{cateto opuesto}}\\&=\frac{8}{6}\end{aligned}\]
Razones trigonométricas en un triángulo rectángulo ejercicios para practicar
Ejercicio 1. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto a un ángulo mide 8 metros y la hipotenusa mide 10 metros. Calcula el seno de ese ángulo.
Ejercicio 2. En un triángulo rectángulo, el cateto adyacente a un ángulo mide 12 centímetros y la hipotenusa mide 15 centímetros. Halla el coseno de dicho ángulo.
Ejercicio 3. Un triángulo rectángulo tiene un cateto opuesto de 5 unidades y un cateto adyacente de 12 unidades. Encuentra la tangente del ángulo agudo en el vértice.
Ejercicio 4. Un edificio tiene 20 metros de altura. Si un observador está a 30 metros del pie del edificio, ¿cuál es el ángulo de elevación al punto más alto del edificio? Utiliza la tangente en tu cálculo.
Ejercicio 5. En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto mide 9 metros y el cateto adyacente mide 12 metros. Calcula el seno, coseno y tangente del ángulo agudo.
Recuerda usar las fórmulas pertinentes y las palabras clave relacionadas con las razones trigonométricas (seno, coseno, tangente) al describir los pasos y resultados en cada ejercicio.
Razones trigonométricas preguntas frecuentes
¿Qué son las razones trigonométricas? Las razones trigonométricas son relaciones matemáticas entre los lados de un triángulo y sus ángulos. En un triángulo rectángulo, las principales razones son el seno, el coseno y la tangente.
¿Cómo se calcula el seno de un ángulo en un triángulo rectángulo? El seno de un ángulo en un triángulo rectángulo se calcula dividiendo la longitud del cateto opuesto a ese ángulo entre la longitud de la hipotenusa.
¿Cuál es la fórmula del coseno en trigonometría? La fórmula del coseno en un triángulo rectángulo es la longitud del cateto adyacente dividida por la longitud de la hipotenusa.
¿Cómo se relaciona la tangente con los lados de un triángulo rectángulo? La tangente de un ángulo en un triángulo rectángulo es la razón entre la longitud del cateto opuesto y la longitud del cateto adyacente.
¿Cuál es la importancia de las razones trigonométricas en la resolución de problemas prácticos? Las razones trigonométricas son fundamentales en la resolución de problemas prácticos, como la medición de distancias inaccesibles y la determinación de alturas utilizando triangulación.