Potencia, base y exponente
Antes de comenzar con el tema de potencias de base negativa, es necesario hacer un recordatorio acerca del significado de potencia, base y exponente.
Una potencia es una operación matemática que implica la multiplicación de un número, un término o una expresión algebraica por sí misma una determinada cantidad de veces. Las partes de una potencia son la base y el exponente. La base es el factor que se repite, y el exponente es el número que indica cuántas veces se repite la base como factor. La notación general para representar una potencia es: \(a^n\), donde \(a\) es la base y \(n\) es el exponente. El resultado que se obtiene al elevar la base a un determinado exponente recibe el nombre de resultado de la potencia. Por ejemplo, la potencia \(2^3\) indica que la base, que en este caso es 2, se debe repetir como factor 3 veces, es decir: \[2^3=2\cdot 2\cdot 2\]
Al realizar la multiplicación, obtenemos que \(2^3=8\), es decir, el resultado de la potencia \(2^3\) es 8.
Ahora que entendemos qué es una potencia, veamos a continuación en qué consisten las potencias de base negativa.
Potencias de base negativa
Las potencias de base negativa son aquellas en las que la base es un número, un término o una expresión algebraica negativa. Estas potencias se caracterizan principalmente por tener un signo negativo en la base y por encerrar la base entre paréntesis.
El uso de los paréntesis tiene el propósito de agrupar toda la base de la potencia. Al agrupar la base con paréntesis, se deja claro cuál es la base que se debe elevar a un determinado exponente. Por ejemplo,
Potencias de base con y sin paréntesis
Es importante destacar que una potencia en la que la base aparece con o sin paréntesis modifica la interpretación y el resultado de dicha potencia.
Si la base de una potencia no incluye paréntesis, entonces el exponente se aplica exclusivamente al valor inmediato a su izquierda, es decir, únicamente al número, sin considerar el signo. Por ejemplo: \[\begin{aligned}-3^2&=-(3\cdot 3)\\&=-9\\-a^2&=-(a\cdot a)\\&=-a^2\end{aligned}\]
Sin embargo, si la base de una potencia incluye paréntesis, entonces el exponente se aplica a todo el término dentro de los paréntesis. Por ejemplo: \[\begin{aligned}(-3)^2&=(-3)\cdot (-3)\\&=9\\(-a)^2&=(-a)\cdot (-a)\\&=a^2\end{aligned}\]
Cuando la base de una potencia es un número negativo, el resultado de la potencia depende de si el exponente es un número par o impar. Esto se analiza con mayor detalle a continuación.
Potencias de base negativa y exponente par
Una potencia con base negativa y exponente par es aquella en la que la base es un número, término o expresión algebraica negativa \((-a)\), y el exponente \(n\) es un número entero par. Por ejemplo: \[\begin{aligned}(-3)^2,\ (-2x)^4,\ \left(-\frac{7}{6}\right)^8\end{aligned}\]
Propiedad: Si la base es negativa y el exponente es par, el resultado de la potencia siempre será positivo.
Demostración: Sea \((-a)^n\) una potencia de base negativa y exponente par. Como \(n\) es un exponente par, entonces puede escribirse como \(2n\), para todo \(n\geq 0\). De esta manera, una potencia de base negativa \(-a\) y exponente par \(n\) puede escribirse como: \[(-a)^n=(-a)^{2n}\]
Al desarrollar esta potencia aplicando las propiedades de los exponentes, obtenemos: \[\begin{aligned}(-a)^{2n}&=\left((-a)^2\right)^n\\&=\left(a^2\right)^n\\&=a^{2n}\end{aligned}\]
Por lo tanto, una potencia de base negativa \((-a)\) y exponente par puede escribirse como: \[(-a)^n=a^n\] Lo que demuestra que en una potencia de base negativa y exponente par es igual a una potencia positiva.
Potencias de base negativa y exponente impar
Una potencia con base negativa y exponente impar es aquella en la que la base es un número, término o expresión algebraica negativa \((-a)\), y el exponente \(m\) es un número entero impar. Por ejemplo: \[\begin{aligned}(-3)^{1},\ (-5x)^3,\ \left(-\frac{5}{2}\right)^5\end{aligned}\]
Propiedad: Si la base es negativa y el exponente es impar, el resultado de la potencia siempre será negativo.
Demostración: Sea \((-a)^m\) una potencia de base negativa y exponente impar. Como \(m\) es un número impar, puede escribirse como \(m=2n+1\) para todo \(n\geq 0\), donde \(2n\) representa un número par. De esta manera, una potencia de base negativa \(-a\) y exponente impar \(m\) se puede expresar como: \[\begin{aligned}(-a)^m=(-a)^{2n+1}\end{aligned}\]
Aplicando las propiedades de los exponentes y el hecho de que \((-a)^{2n}=a^{2n}\), obtenemos: \[\begin{aligned}(-a)^{2n+1}&=(-a)^{2n}\cdot (-a)^1\\&=a^{2n}\cdot (-a)\\&=-a^{2n+1}\end{aligned}\]
Por lo tanto, una potencia de base negativa \((-a)\) y exponente impar puede escribirse como: \[(-a)^m=-a^m\] Esto muestra que, en una potencia de base negativa y exponente impar, el resultado siempre es una potencia negativa.
Potencias de base negativa y exponente positivo
Una potencia con base negativa y exponente positivo es aquella en la que la base es un número, término o expresión algebraica negativa \((-a)\), y el exponente \(n\) es un número entero positivo. Se representa como: \((-a)^n\).
Propiedades: Si la base es negativa y el exponente es positivo, el resultado de la potencia puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el exponente es par o impar, respectivamente.
Cuando el exponente es par, el resultado de la potencia será positivo, es decir: \((-a)^n=a^n\).
Cuando el exponente es impar, el resultado de la potencia será negativo, es decir: \((-a)^n=-a^n\).
Potencias de base y exponente negativos
Una potencia con base y exponente negativos es aquella en la que la base es un número, término o expresión algebraica negativa \((-a)\), y el exponente es un número entero negativo \(-n\). Se representa como: \((-a)^{-n}\).
Elevar una base negativa a un exponente negativo puede expresarse en términos de potencias con exponente positivo y viceversa. Es decir: \[\begin{aligned}(-a)^{-n}=\frac{1}{(-a)^n}\end{aligned}\]
Propiedades: Si la base es negativa y el exponente es negativo, el resultado de la potencia puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el exponente es par o impar, respectivamente.
Si el exponente es par, el resultado de la potencia será positivo, es decir: \[\begin{aligned}(-a)^{-n} &=\frac{1}{(-a)^n}\\&=\frac{1}{a^n}\end{aligned}\]
Si el exponente es impar, el resultado de la potencia será negativo, es decir: \[\begin{aligned}(-a)^{-n}&=\frac{1}{(-a)^n}\\&=\frac{1}{-a^n}\end{aligned}\]