¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo?
Cuando se trata de números reales, la raíz cuadrada de un número negativo no tiene un valor real, es decir, no se puede calcular la raíz cuadrada de un número negativo. Sin embargo, es posible hallar la raíz cuadrada de un número negativo en el campo de los números complejos. Para comprender esto con mayor claridad, primero es necesario recurrir a la definición de raíz cuadrada.
En el campo de los números reales, la raíz cuadrada de un número real \(x\geq 0\) es igual a un número real \(y\) tal que, cuando se multiplica por sí mismo, da como resultado el número original \(x\). Matemáticamente, si \(y\) es la raíz cuadrada de \(x\), entonces: \(y\cdot y=x\), es decir: \[y^2=x\]
De esta definición se observa que no existe ningún número real \(y\) que, al ser multiplicado por sí mismo (es decir, al ser elevado al cuadrado), dé como resultado un número negativo \(-x\). En otras palabras, no existe un número real \(y\) tal que: \[y^2=-x\] Esto debido a que todo número real elevado al cuadrado siempre es positivo. Por ejemplo, -1 no tiene una raíz cuadrada real; es decir, no existe un número real \(y\) tal que: \[y^2=-1\]
Dado que la raíz cuadrada de un número negativo no existe en el campo de los números reales, es necesario ampliar nuestros conocimientos al campo de los números complejos. Especialmente, para hallar la raíz cuadrada de un número negativo es necesario conocer el concepto de unidad imaginaria.
Unidad imaginaria
La unidad imaginaria o unidad de número imaginario \(i\) se define como la raíz cuadrada de -1, es decir: \[i^2 -1\] Con \(i\) definida de este modo, se obtiene directamente que: \[i=\pm\sqrt{-1}\]
Esta unidad imaginaria \(i\) se utiliza para extender el sistema de números reales al sistema de números complejos. Al introducir \(i\), se pueden manipular y trabajar con cantidades que antes no tenían solución en el conjunto de los números reales, como, por ejemplo, el cálculo de la raíz cuadrada de un número negativo. Es importante tener en cuenta que \(i\) es un número imaginario, el cual pertenece al campo de los números complejos, lo que significa que siempre que se utilice, representará la solución compleja de algún problema.
Antes de comenzar con el cálculo de la raíz cuadrada de un número negativo, es necesario conocer una de las propiedades básicas de los radicales, que junto con la unidad imaginaria nos permitirá calcular la raíz cuadrada de un número negativo.
Propiedad de la raíz cuadrada de un producto
\[\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\] Esta propiedad establece que la raíz cuadrada de un producto de factores es igual al producto de las raíces cuadradas de los factores individuales. Por ejemplo: \[\begin{aligned}\sqrt{28}&=\sqrt{4\cdot 7}\\&=\sqrt{4}\cdot\sqrt{7}\\&=2\cdot\sqrt{7}\\&=2\sqrt{7}\\\sqrt{4}&=\sqrt{2\cdot 2}\\&=\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\\\sqrt{25}&=\sqrt{5\cdot 5}\\&=\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}\end{aligned}\]
Raíz cuadrada de un número negativo ejemplos
Ejemplo 1. Calcular la raíz cuadrada del número negativo -4.
Solución: Observa que -4 se puede escribir como el producto de los factores 4 y -1, es decir: \[-4=4\cdot (-1)\]
De esta manera, podemos escribir la raíz cuadrada que queremos calcular como: \[\sqrt{-4}=\sqrt{4\cdot (-1)}\]
Aplicando la propiedad de la raíz cuadrada de un producto, obtenemos que: \[\begin{aligned}\sqrt{-4}&=\sqrt{4\cdot (-1)}\\&=\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}\end{aligned}\]
Ahora bien, observa que tenemos la raíz cuadrada de -1. De acuerdo con la definición de unidad imaginaria, esta es igual a \(i\), es decir, debes recordar que \[i=\pm\sqrt{-1}\]
Entonces, sustituyendo este valor en el cálculo anterior, obtenemos que: \[\begin{aligned}\sqrt{-4}&=\sqrt{4\cdot (-1)}\\&=\sqrt{4}\cdot\sqrt{-1}\\&=\sqrt{4}\cdot i\\&=\pm2\cdot i\\&=\pm2i\end{aligned}\]
Por lo tanto, la raíz cuadrada del número negativo -4 es el número complejo \(\pm 2i\).
Ejemplo 2. Calcular la raíz cuadrada de -9.
Solución: Observa que se pide calcular la raíz cuadrada del número negativo -9. Como -9 se puede escribir como el producto de los factores 9 y -1, entonces: \[\sqrt{-9}=\sqrt{9\cdot (-1)}\]
Aplicando la propiedad de la raíz cuadrada de un producto de factores, obtenemos que: \[\begin{aligned}\sqrt{-9}&=\sqrt{9\cdot (-1)}\\&=\sqrt{9}\cdot\sqrt{-1}\end{aligned}\]
Ahora bien, observa que aparece como factor la raíz cuadrada de \(-1\). De acuerdo con la definición de unidad imaginaria, se define a \(i\) como la raíz cuadrada de -1, es decir: \(i=\pm\sqrt{-1}\). Sustituyendo este valor en el cálculo anterior, obtenemos que: \[\begin{aligned}\sqrt{-9}&=\sqrt{9\cdot (-1)}\\&=\sqrt{9}\cdot\sqrt{-1}\\&=\sqrt{9}\cdot i\\&=\pm3\cdot i\\&=\pm3i\end{aligned}\]
Concluimos que la raíz cuadrada del número negativo -9 es el número complejo \(\pm 3i\).
Ejemplo 3. Determinar la raíz cuadrada del número negativo -27.
Solución: Para calcular la raíz cuadrada de un número negativo, primero se debe escribir dicho número como un producto de factores, en el que uno de estos factores sea -1. Esto es necesario para luego aplicar la propiedad de la raíz cuadrada de un producto de factores y finalmente, sustituir la raíz cuadrada del número negativo -1 por la unidad imaginaria \(i\). Este procedimiento se realiza a continuación: \[\begin{aligned}\sqrt{-27}&=\sqrt{27\cdot (-1)}\\&=\sqrt{9\cdot 3\cdot (-1)}\\&=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{-1}\\&=\pm3\cdot\sqrt{3}\cdot i\\&=\pm3\sqrt{3}i\end{aligned}\]
Por lo tanto, la solución compleja de \(\sqrt{-27}\) es \(\pm 3\sqrt{3}i\).
Ejemplo 4. Comprobar que \(5i\) es la raíz cuadrada de \(-25\).
Solución: De acuerdo con la definición de raíz cuadrada, para probar que \(5i\) es la raíz cuadrada de \(\sqrt{-25}\), debemos verificar que: \[(5i)^2=-25\]
Es importante reconocer que \(5i\) es un producto de dos factores, es decir, \(5i=5\cdot i\). Entonces, al desarrollar la potencia, obtenemos: \[\begin{aligned}(5i)^2&=(5\cdot i)^2\\&=5^2\cdot i^2\\&=25\cdot i^2\end{aligned}\]
De acuerdo con la definición de la unidad del número imaginario \(i\): \(i^2=-1\). Por lo tanto, sustituyendo este valor en el desarrollo anterior, obtenemos: \[\begin{aligned}(5i)^2&=25\cdot i^2\\&=25\cdot (-1)\\&=-25\end{aligned}\]
Por lo tanto, concluimos que el número complejo \(5i\) es la raíz cuadrada de \(-25\), es decir: \[\sqrt{-25}=5i\]
Ejemplo 5. Calcular la raíz cuadrada de -16 y -20.
Solución: El procedimiento para calcular la raíz cuadrada de -16 se muestra a continuación: \[\begin{aligned}\sqrt{-16}&=\sqrt{16\cdot (-1)}\\&=\sqrt{16}\cdot\sqrt{-1}\\&=\pm4\cdot i\\&=\pm4i\end{aligned}\]
El procedimiento para calcular la raíz cuadrada del número negativo -20 es el siguiente: \[\begin{aligned}\sqrt{-20}&=\sqrt{20\cdot (-1)}\\&=\sqrt{4\cdot 5\cdot (-1)}\\&=\sqrt{4}\cdot\sqrt{5}\cdot\sqrt{-1}\\&=\pm2\cdot\sqrt{5}\cdot i\\&=\pm2\sqrt{5}i\end{aligned}\]
Con los números imaginarios podemos resolver algunas ecuaciones de segundo grado cuyas soluciones son las raíces de números negativos.
Ecuaciones de segundo grado con soluciones complejas
La fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado (cuadráticas) en su forma estándar es: \[x_{1, 2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
En esta fórmula, \(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes de la ecuación de segundo grado en su forma estándar, definida como: \[ax^2+bx+c=0\]
La expresión \(b^2-4ac\) que aparece en la fórmula general recibe el nombre de discriminante de la ecuación de segundo grado. El número y tipo de soluciones de una ecuación de segundo grado dependen del valor de este discriminante, siguiendo el siguiente criterio:
- Si \(b^2-4ac>0\), entonces la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones reales.
- Si \(b^2-4ac=0\), entonces la ecuación de segundo grado tiene una única solución real.
- Si \(b^2-4ac<0\), entonces la ecuación de segundo grado tiene dos soluciones complejas.
Ejemplo 6. Determina la solución o soluciones de la siguiente ecuación de segundo grado: \[3x^2+2x+1=0\]
Solución: Para resolver una ecuación de segundo grado mediante la fórmula general, primero debemos verificar que la ecuación esté en su forma estándar, es decir, en la forma: \[ax^2+bx+c=0\]
Observa que la ecuación \(3x^2+2x+1=0\) ya está ordenada en su forma estándar, por lo que no es necesario realizar ninguna acción.
Para determinar el tipo de solución o soluciones de esta ecuación mediante la fórmula general, debemos verificar el valor numérico de su discriminante. En este caso, tenemos que \(a=3\), \(b=2\) y \(c=1\), por lo tanto, el valor del discriminante es: \[\begin{aligned}b^2-4ac&=2^2-4(3)\\&=4-12\\&=-8\end{aligned}\]
Como el valor del discriminante es menor que cero, la ecuación cuadrática tiene dos soluciones complejas.
Para encontrar las soluciones complejas de la ecuación de segundo grado, sustituimos los valores de \(a\), \(b\) y \(c\) en la fórmula general:
El hecho de que el valor del discriminante sea menor que cero implica que el valor numérico del radicando en la fórmula general es negativo, por lo que será necesario calcular la raíz cuadrada de un número negativo.
Para \(x_1\) obtenemos: \[\begin{aligned}x_{1}&=\frac{-2+\sqrt{-8}}{6}\\&=\frac{-2+i\sqrt{8}}{6}\\&=\frac{-2+i2\sqrt{2}}{6}\\&=\frac{-2}{6}+\frac{i2\sqrt{2}}{6}\\&=-\frac{1}{3}+\frac{i\sqrt{2}}{3}\end{aligned}\]
Para \(x_2\) obtenemos: \[\begin{aligned}x_{2}&=\frac{-2-\sqrt{-8}}{6}\\&=\frac{-2-i\sqrt{8}}{6}\\&=\frac{-2-i2\sqrt{2}}{6}\\&=\frac{-2}{6}-\frac{i2\sqrt{2}}{6}\\&=-\frac{1}{3}-\frac{i\sqrt{2}}{3}\end{aligned}\]
Por lo tanto, concluimos que las soluciones a la ecuación cuadrática son los números complejos: \[\begin{aligned}x_{1}&=-\frac{1}{3}+\frac{i\sqrt{2}}{3}\\x_{2}&=-\frac{1}{3}-\frac{i\sqrt{2}}{3}\end{aligned}\]
Ejemplo 7. Resuelve la siguiente ecuación cuadrática: \[x^2+\frac{4}{9}=0\]
Solución: Se puede resolver esta ecuación cuadrática aplicando la fórmula general o simplemente despejando correctamente la incógnita \(x\). En este caso, resolveremos la ecuación despejando el valor de \(x\):
Por lo tanto, las soluciones complejas de la ecuación \(x^2+4/9\) son: \[\begin{aligned}x_1&=\frac{2}{3}i\\x_2&=-\frac{2}{3}i\end{aligned}\]
Raíz cuadrada de un número negativo ejercicios para practicar
Ejercicio 1. Calcula la raíz cuadrada de los siguiente números negativos: \[-18,\ -\frac{16}{9},\ -\frac{\pi}{4}\]
Ejercicio 2. Comprueba que el número complejo \(\sqrt{6}i\) es la raíz cuadra de \(-6\).
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas aplicando la fórmula general: \[x^2+2x+5=0\]
Ejercicio 4. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas: \[\begin{aligned}x^2+\frac{9}{4}&=0\\x^2+81&=0\end{aligned}\]
Preguntas frecuentes sobre la raíz cuadrada de un número negativo
¿Cuál es la raíz cuadrada de -1? La raíz cuadrada de -1 se denota como \(i\) y se define como la unidad imaginaria. No tiene solución dentro del conjunto de los números reales, pero se introduce en matemáticas para extender el conjunto de números reales al conjunto de números complejos. Los números complejos se expresan en la forma \(a\pm ib\), donde \(a\) y \(b\) son números reales, y \(i\) es la unidad imaginaria.
¿Existe la raíz cuadrada de un número negativo? La raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales, ya que el cuadrado de cualquier número real (positivo o negativo) siempre es positivo. Sin embargo, en matemáticas avanzadas, se define un nuevo conjunto de números llamado números complejos, que incluye tanto números reales como números imaginarios, en el que, si es posible definir la raíz cuadrada de un número negativo, a tal solución se le conoce como solución compleja.
¿Cuándo una ecuación cuadrática tiene soluciones complejas? Una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones complejas cuando el valor de su discriminante es menor que cero.
¿Qué es el discriminante de una ecuación cuadrática? El discriminante de una ecuación cuadrática es el término dentro de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática. Para una ecuación cuadrática en su forma estándar \(ax^2+bx+c=0\), el discriminante se calcula como \(b^2-4ac\).
¿Qué significa que el discriminante sea menor que cero? Cuando el discriminante es menor que cero, significa que la ecuación cuadrática no tiene soluciones reales. En otras palabras, la parábola representada por la ecuación cuadrática no intercepta el eje x en ningún punto real. Esto se debe a que la parte dentro de la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática (discriminante) es un valor negativo, lo que hace que las soluciones sean números complejos en lugar de números reales.