Definición de raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número \(x\) es igual a un número \(y\) que, cuando se multiplica por sí mismo, da como resultado el número original \(x\). En otras palabras, si \(y\) es la raíz cuadrada de \(x\), entonces: \(y\cdot y=x\), es decir: \[y^2=x\]
De ahora en adelante, denotaremos esta igualdad como: \[y=\sqrt{x}\] que se lee “\(y\) es la raíz cuadrada de \(x\)”, donde \(\sqrt{}\) es el símbolo de la raíz (radical) y \(x\) es el radicando, es decir, el número al cual se le está calculando la raíz cuadrada. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 9 es 3, ya que 3 multiplicado por sí mismo da como resultado 9, es decir: \(3\cdot 3=9\) Esta igualdad también se escribe como: \[3=\sqrt{9}\]
Observa que si \(y^2=x\), también \((-y)^2=x\). Por lo tanto, si \(y=\sqrt{x}\), llamaremos a \(-y\) la raíz negativa de \(x\), es decir: \[-y=-\sqrt{x}\] Por ejemplo, la raíz cuadrada negativa de 9 es -3, ya que -3 multiplicado por sí mismo da como resultado 9, es decir: \[(-3)\cdot (-3)=9\] Esta igualdad también se escribe como: \[-3=-\sqrt{9}\]
A continuación, veremos las características que debe cumplir el radicando \(x\) para que sea posible calcular su raíz cuadrada.
Raíz cuadrada de un número real
De acuerdo con la definición, la raíz cuadrada de un número \(x\), denotada como \(\sqrt{x}\), es aquel número \(y\) tal que \(y\cdot y=x\), es decir, tal que \(y^2=x\). En otras palabras, la raíz cuadrada de un número \(x\) es un número \(y\) que, cuando se multiplica por sí mismo (es decir, se eleva al cuadrado), produce el valor original de \(x\).
De esta definición, se observa que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida en el conjunto de los números reales. Esto se debe a que en el conjunto de los números reales no existe ningún número real diferente de cero que, al ser multiplicado por sí mismo (es decir, elevado al cuadrado), dé como resultado un número negativo. En otras palabras, no existe un valor de \(y\) diferente de cero tal que: \[y^2=-x\] En general, un número positivo elevado al cuadrado es positivo, y lo mismo ocurre con un número negativo elevado al cuadrado.
Cuando el radicando \(x\) es menor que cero, se introduce el concepto de números complejos, y la raíz cuadrada de un número negativo se expresa en términos de los números complejos. Por lo tanto, al trabajar con números reales, la raíz cuadrada sólo está definida para valores de \(x\) (radicando) mayores o iguales a cero.
Raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado
La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado es simplemente el valor absoluto del número original. Matemáticamente, esto se expresa de la siguiente manera: Si \(x\) es cualquier número real (mayor, menor o igual a cero), entonces: \[\sqrt{x^2}=|x|\]
Donde \(|x|\) es el valor absoluto de \(x\). De acuerdo con la definición de valor absoluto, para cualquier número real \(x\), el valor absoluto de \(x\) se denota por \(|x|\) y se define como: \[|x|=\left\{\begin{aligned}x&,\ \text{si}\ x\geq 0\\-x&,\ \text{si}\ x<0 \end{aligned}\right .\]
Entonces, la raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado está definida como: \[\begin{aligned}\sqrt{x^2}&=|x|\\&=\left\{\begin{aligned}x&,\ \text{si}\ x\geq 0\\-x&,\ \text{si}\ x<0 \end{aligned}\right .\end{aligned}\] Por ejemplo, la raíz cuadrada de \(3^2\) es igual a 3, es decir: \[\begin{aligned}\sqrt{3^2}&=|3|\\&=3\end{aligned}\]
Vemos otro ejemplo: La raíz cuadrada de \((-3)^2\) es igual a 3, es decir: \[\begin{aligned}\sqrt{(-3)^2}&=|-3|\\&=-(-3)\\&=3\end{aligned}\]
Como puedes observar, la raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado es igual al valor absoluto del número, y por definición del valor absoluto, este es siempre el mismo número, pero positivo.
El cuadrado de una raíz cuadrada
El cuadrado de la raíz cuadrada de un número es simplemente el mismo número.
Veamos esto con mayor detalle. Si \(y\) es la raíz cuadrada de \(x\), es decir, \(y=\sqrt{x}\), entonces, el cuadrado de la raíz cuadrada de \(x\) es \(y^2\), es decir, \(\left(\sqrt{x}\right)^2\). Desarrollando esta potencia aplicando las propiedades de los exponentes, obtenemos que: \[\begin{aligned}\left(\sqrt{x}\right)^2&=\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}\\&=x^{\frac{1}{2}}\cdot x^{\frac{1}{2}}\\&=x^{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\\&=x^1\\&=x\end{aligned}\]
En otras palabras: \[\left(\sqrt{x}\right)^2=x\] Por ejemplo, el cuadrado de la raíz cuadrada de 6 es 6, es decir: \[\left(\sqrt{6}\right)^2=6\]
Propiedades de la raíz cuadrada
Las siguientes propiedades de la raíz cuadrada son válidas para todos los números reales \(a\) y \(b\) no negativos.
Propiedad de la existencia de la raíz cuadrada
La raíz cuadrada de un número real \(x\) existe solo si \(x\geq 0\). Esta propiedad establece que \(\sqrt{x}\) está definida si y sólo si \(x\geq 0\). Por ejemplo, existe la raíz cuadrada de \(\sqrt{2}\), pero no existe en el conjunto de los números reales la raíz cuadrada de \(\sqrt{-2}\).
Propiedad del cuadrado perfecto
Si \(y\) es la raíz cuadrada de \(x\), es decir, \(y=\sqrt{x}\), entonces \(y^2=x\). Esta propiedad establece que al elevar al cuadrado la raíz cuadrada de un número, se obtiene de manera exacta el número original. Por ejemplo: Si 4 es la raíz cuadrada de 16, es decir, \(\sqrt{16}=4\), entonces \(4^2=16\). Esta es una propiedad fundamental debido a que no todos los números reales mayores o iguales a cero poseen raíces cuadradas exactas.
Propiedad de la raíz cuadrada de un producto
\[\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\] Esta propiedad establece que la raíz cuadrada de un producto es igual al producto de las raíces cuadradas de los factores individuales. Por ejemplo: \[\begin{aligned}\sqrt{27}&=\sqrt{9\cdot 3}\\&=\sqrt{9}\cdot\sqrt{3}\\&=3\cdot\sqrt{3}\end{aligned}\]
Propiedad de la raíz cuadrada de un cociente
\[\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\] Esta propiedad establece que la raíz cuadrada de un cociente es igual al cociente de las raíces cuadradas del dividendo y del divisor, siempre que \(b\neq 0\). Por ejemplo: \[\begin{aligned}\sqrt{\frac{25}{4}}&=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{4}}\\&=\frac{5}{2}\end{aligned}\]
Propiedad de la raíz cuadrada como una potencia
\[\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\] Esta propiedad establece que la raíz cuadrada de \(a\) se puede expresar como una potencia de base \(a\) y exponente \(\frac{1}{2}\). Por ejemplo: \[\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}\]
Propiedad de la raíz cuadrada de una potencia
\[\sqrt{a^n}=\left(\sqrt{a}\right)^n\] Esta propiedad establece que la raíz cuadrada de una potencia de base \(a>0\) y exponente \(n\), es igual a la potencia de base \(\sqrt{a}\) y exponente \(n\). Es decir, el exponente puede salir o entrar en el símbolo radical. Por ejemplo, \[\begin{aligned}\sqrt{4^3}&=\left(\sqrt{4}\right)^3\\&=(2)^3\\&=8\end{aligned}\]
Propiedad de la equivalencia
\[\begin{aligned}\sqrt{x^2}&=|x|\\&=\left\{\begin{aligned}x&,\ \text{si}\ x\geq 0\\-x&,\ \text{si}\ x<0 \end{aligned}\right .\end{aligned}\] Esta propiedad establece que la raíz cuadrada de cualquier número real elevado al cuadrado es igual al valor absoluto del número original. Veamos algunos ejemplos:\[\begin{aligned}\sqrt{2^2}&=|2|\\&=2\\\sqrt{(-1)^2}&=|-1|\\&=1\end{aligned}\]
Preguntas frecuentes sobre la raíz cuadrada
¿Qué es la raíz cuadrada? La raíz cuadrada de un número \(x\) es otro número \(y\) que, cuando se multiplica por sí mismo, produce el número original \(x\). Matemáticamente, si \(y\) es la raíz cuadrada de \(x\), se escribe como \(y=\sqrt{x}\), y se expresa de manera equivalente como \(y^2=x\). En otras palabras, la raíz cuadrada de un número \(x\) es el número \(y\) que, al ser elevado al cuadrado, da como resultado \(x\).
¿Cuál es el índice de una raíz cuadrada? El índice de una raíz cuadrada es 2. Esto significa que cuando se escribe la raíz cuadrada de un número, no se especifica el índice porque se sobreentiende que es 2. La raíz cuadrada se representa comúnmente con el símbolo de radical \(\sqrt{}\). Por ejemplo, \(\sqrt{4}\) representa la raíz cuadrada de 4, que es 2. En general, si se tiene el símbolo \(\sqrt{}\) seguido de un número, se está hablando de la raíz cuadrada de ese número, con un índice implícito de 2.
¿Por qué no está definida la raíz cuadrada para números negativos? En el conjunto de los números reales, no existe ningún número real que, al ser multiplicado por sí mismo (al ser elevado al cuadrado), dé como resultado un número negativo, es decir, no existe un número real \(y\) tal que \(y^2=-x\).
La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado es igual al mismo número ¿Verdadero o falso? Falso. De acuerdo con la propiedad de la equivalencia, la raíz cuadrada de cualquier número real elevado al cuadrado es igual al valor absoluto de dicho número.
¿La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado es igual al mismo número? No. La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado es igual al valor absoluto del número original. Es decir, es igual al mismo número, pero positivo.
¿Todo número entero tiene raíz cuadrada exacta? No, no todos los números enteros tienen raíces cuadradas exactas. Una raíz cuadrada exacta es aquella que produce un número entero cuando se calcula. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 4 es 2, y la raíz cuadrada de 9 es 3. Sin embargo, hay muchos números enteros para los cuales la raíz cuadrada no es un número entero. Por ejemplo, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional (aproximadamente 1.414213562373095), lo que significa que no puede ser expresado como una fracción finita y no tiene una representación decimal exacta. Otros ejemplos de números enteros sin raíces cuadradas exactas son 3, 5, 6, 7, 8, 10, y así sucesivamente.