La radicación es una operación matemática que consiste en hallar un número \(y\) que, al multiplicarse por sí mismo una determinada cantidad \(n\) de veces, dé como resultado un número \(x\). Es decir: \[y^n=x\]
Dado que se trata de hallar el valor de \(y\) que cumple esta condición, la radicación se define como la operación inversa de la potenciación, y se representa como: \[y=\sqrt[n]{x}\]
A continuación, veamos el caso especial en el que \(n=3\), es decir, el caso de la raíz cúbica de un número real \(x\).
Raíz cúbica de un número real
La raíz cúbica de un número real \(x\) es otro número real \(y\) que, cuando se eleva al cubo, da como resultado el número original \(x\). Matemáticamente, si \(y\) es la raíz cúbica de un número \(x\), entonces: \(y\cdot y\cdot y=x\), es decir: \[y^3=x\] Por ejemplo, la raíz cúbica de 8 es 2, ya que: \[\begin{aligned}2^3&=2\cdot 2\cdot 2\\&=4\cdot 2\\&=8\end{aligned}\]
A diferencia de la raíz cuadrada, en la que la raíz de un número negativo no está definida en el campo de los números reales, la raíz cúbica de un número negativo si está definida como un número real. En particular, la raíz cúbica de un número negativo es siempre negativo. Esto se debe a que, en una potencia de base negativa y exponente impar, que en el caso de la raíz cúbica es 3, el resultado de la potencia siempre es negativo. Por ejemplo, la raíz cúbica de -125 es -5, ya que: \[\begin{aligned}(-5)^3&=-5\cdot -5\cdot -5\\&=25\cdot -5\\&=-125\end{aligned}\]
Veamos esto con más detalle a continuación.
Raíz cúbica de un número negativo
La raíz cúbica de un número negativo \(-x\) es otro número negativo \(-y\) que, cuando se eleva al cubo, da como resultado el número original \(-x\). Matemáticamente, si \(-y\) es la raíz cúbica de \(-x\), entonces: \((-y)\cdot (-y)\cdot (-y)=-x\), es decir: \[(-y)^3=-x\] Por ejemplo, la raíz cúbica de -8 es -2, ya que: \[\begin{aligned}(-2)^3&=(-2)\cdot (-2)\cdot (-2)\\&=4\cdot (-2)\\&=-8\end{aligned}\]
Partes de la raíz cúbica
La raíz cúbica de un número \(x\) se denota generalmente como: \[y=\sqrt[3]{x}\]
Esta igualdad se lee como “\(y\) es la raíz cúbica de \(x\)”, donde \(\sqrt{}\) es el símbolo de la raíz, también conocido como radical, el número \(3\) es el índice de la raíz e indica el grado de la raíz; en este caso, al ser \(3\), indica la raíz cúbica. El número real \(x\) recibe el nombre de radicando, y el número real \(y\) recibe el nombre de raíz cúbica de \(x\).
Cálculo de la raíz cúbica de un número
Para determinar la raíz cúbica de un número, basta con encontrar otro número que, al ser elevado al cubo, dé como resultado el valor del radicando.
Es fácil calcular la raíz cúbica de un cubo perfecto; sin embargo, el cálculo se complica cuando se requiere hallar la raíz cúbica de números que no son cubos perfectos. A continuación, veremos algunos ejemplos.
Ejemplo 1. ¿Cuál es la raíz cúbica de 64?
Respuesta: Recuerda que la raíz cúbica de un número \(x\) es aquel número \(y\) que, al ser elevado al cubo, da como resultado el número original \(x\).
En este caso, se pide calcular la raíz cúbica de 64, por lo que debemos hallar un número \(y\) tal que: \(y^3=64\). Observa que si \(y=4\), obtenemos que: \[\begin{aligned}4^3&=4\cdot 4\cdot 4\\&=16\cdot 4\\&=64\end{aligned}\] Por lo tanto, la raíz cúbica de 64 es igual a 4.
Ejemplo 2. ¿Cuál es la raíz cúbica de 1000?
Respuesta: La raíz cúbica de un número real \(x\) es aquel número real \(y\) que, al ser elevado al cubo, da como resultado el valor de \(x\). Por lo tanto, para hallar la raíz cúbica de 1000, simplemente debemos encontrar un número que, al ser elevado al cubo, dé como resultado 1000.
En este caso, el número buscado es 10, ya que: \[\begin{aligned}10^3&=10\cdot 10\cdot 10\\&=100\cdot 10\\&=1000\end{aligned}\] Por lo tanto, la raíz cúbica de 1000 es igual a 10.
Ejemplo 3. ¿Cuál es la raíz cúbica de -216?
Respuesta: Recuerda que la raíz cúbica de un número negativo \(-x\) es aquel número negativo \(-y\) que cumple con: \((-y)^3=-x\). Por lo tanto, para hallar la raíz cúbica del número negativo -216, pensemos en un número negativo que, al ser elevado al cubo, dé como resultado -216. En este caso, el valor buscado es -6, ya que: \[\begin{aligned}(-6)^3&=-6\cdot -6\cdot -6\\&=36\cdot -6\\&=-216\end{aligned}\] De esta manera, concluimos que la raíz cúbica de -216 es igual a -6.
Ejemplo 4. ¿Cuál es la raíz cúbica de -1?
Respuesta: Recuerda que la raíz cúbica de un número negativo también es un número negativo. Por tanto, para hallar la raíz cúbica de -1, debemos encontrar un número negativo -y tal que: \((-y)^3=-1\). En este caso, el número buscado es -1, ya que: \[\begin{aligned}(-1)^3&=-1\cdot -1\cdot -1\\&=1\cdot -1\\&=-1\end{aligned}\] Por lo tanto, concluimos que la raíz cúbica de -1 es igual a -1.
Tabla de cubos y raíces cúbicas
Propiedades de la raíz cúbica
Propiedad 1. La raíz cúbica de un producto: \[\sqrt[3]{a\cdot b}=\sqrt[3]{a}\cdot\sqrt[3]{b}\] Esta propiedad establece que la raíz cúbica de un producto de factores es igual al producto de las raíces cúbicas de los factores individuales. Por ejemplo: \[\begin{aligned}\sqrt[3]{512}&=\sqrt[3]{8\cdot 64}\\&=\sqrt[3]{8}\cdot\sqrt[3]{64}\\&=2\cdot 4\end{aligned}\]
Propiedad 2. La raíz cúbica de un cociente: \[\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}\] Esta propiedad establece que la raíz cúbica de un cociente es igual al cociente de las raíces cúbicas del dividendo y del divisor, siempre que \(b\neq 0\). Por ejemplo: \[\begin{aligned}\sqrt[3]{\frac{1}{1000}}&=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{1000}}\\&=\frac{1}{10}\end{aligned}\]
Propiedad 3. La raíz cúbica como una potencia: \[\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\] Esta propiedad establece que la raíz cúbica de un número real \(a\) se puede expresar como una potencia con base \(a\) y exponente \(1/3\). Por ejemplo: \[\sqrt[3]{2}=2^{\frac{1}{3}}\]
Propiedad 4. La raíz cúbica de una potencia: \[\sqrt[3]{a^n}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^n\] Esta propiedad establece que la raíz cúbica de una potencia con base \(a\) y exponente \(n\) es igual a una potencia con base \(\sqrt[3]{a}\) y exponente \(n\). En otras palabras, el exponente puede entrar o salir del símbolo radical. Por ejemplo: \[\begin{aligned}\sqrt[3]{8^4}&=\left(\sqrt[3]{8}\right)^4\\&=(2)^4\\&=16\end{aligned}\]
Raíz cúbica de un número elevado al cubo
La raíz cúbica de un número real elevado al cubo es igual al mismo número real. Es decir: \[\sqrt[3]{a^3}=a\]
Demostración: De acuerdo con la propiedad 3, la raíz cúbica de un número real \(a\) puede escribirse como una potencia de base \(a\) y exponente \(1/3\), es decir: \[\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\]
Ahora bien, según la propiedad 4, la raíz cúbica de una potencia de base \(a\) y exponente \(n\) es igual a una potencia de base \(\sqrt[3]{a}\) y exponente \(n\), es decir: \[\sqrt[3]{a^n}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^n\]
Por lo tanto, si \(n=3\), entonces: \[\sqrt[3]{a^3}=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3\]
Aplicando la propiedad 3, obtenemos: \[\begin{aligned}\sqrt[3]{a^3}&=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3\\&=\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3\end{aligned}\]
De acuerdo con la propiedad de la potencia de una potencia de las propiedades de los exponentes, obtenemos lo siguiente: \[\begin{aligned}\sqrt[3]{a^3}&=\left(\sqrt[3]{a}\right)^3\\&=\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3\\&=a^{\frac{1}{3}\cdot 3}\\&=a^{\frac{3}{3}}\\&=a^{1}\\&=a\end{aligned}\]
Por lo tanto, la raíz cúbica de un número elevado al cubo es igual al mismo número. Por ejemplo, la raíz cúbica de \(2^3\) es \(2\), es decir: \[\sqrt[3]{2^3}=2\]
El cubo de una raíz cúbica
El cubo de la raíz cúbica de un número real es igual al mismo número real. Es decir: \[\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=a\]
Demostración: De acuerdo con la propiedad 3, la raíz cúbica de un número real \(a\) puede escribirse como una potencia de base \(a\) y exponente \(1/3\), es decir: \[\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}\]
Por lo tanto: \[\begin{aligned}\left(\sqrt[3]{a}\right)^3=\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3\end{aligned}\]
Aplicando la propiedad de la potencia de una potencia, obtenemos que: \[\begin{aligned}\left(\sqrt[3]{a}\right)^3&=\left(a^{\frac{1}{3}}\right)^3\\&=a^{\frac{1}{3}\cdot 3}\\&=a^{\frac{3}{3}}\\&=a^1\\&=a\end{aligned}\]
Por lo tanto, el cubo de la raíz cúbica de un número real es igual al mismo número real. Por ejemplo, el cubo de la raíz cúbica de 27 es 27, es decir: \[\left(\sqrt[3]{27}\right)^3=27\]
Preguntas frecuentes sobre la raíz cúbica
¿Cuál es el símbolo de la raíz cúbica? El símbolo de la raíz cúbica es \(\sqrt[3]{}\), similar al símbolo radical utilizado para las raíces cuadradas, pero con un tres pequeño encima para indicar que se trata de una raíz cúbica. Por lo tanto, se representa como \(\sqrt[3]{x}\).
¿Cómo calcular la raíz cúbica de un número? Para calcular la raíz cúbica de un número, simplemente se debe encontrar un número que, al ser elevado al cubo, resulte en el número original.
¿Cuál es la raíz cúbica de un número elevado al cubo? La raíz cúbica de un número elevado al cubo es igual al mismo número.