Logaritmo natural definición, propiedades y ejemplos

¿Qué es un logaritmo natural?

Se denomina logaritmo natural al logaritmo cuya base es el número irracional \(e\) (número de Euler), cuyo valor aproximado es 2.71828. El logaritmo natural de un número real \(x\) se denota como \(\log_{e}(x)\) o más comúnmente como \(\ln(x)\). A continuación, veamos la definición formal del logaritmo natural, las partes del logaritmo natural y las propiedades de los logaritmos naturales.

Definición de logaritmo natural

Definición: Dado un número real \(x\) mayor que cero, el logaritmo natural de \(x\) es igual al exponente \(y\) al cual debe elevarse la base \(e\) para obtener como resultado el número \(x\). Matemáticamente, esto se expresa como: \[\ln(x)=y \Leftrightarrow e^y=x\] Esta expresión se lee como: “El logaritmo natural de \(x\) es igual a \(y\), si y sólo si, el número irracional \(e\) elevado al exponente \(y\) da como resultado el número \(x\)”.

Por ejemplo, el logaritmo natural de 7.5 es aproximadamente igual a 2.0149, ya que, al elevar la base del logaritmo (\(e\)) al exponente 2.0149 se obtiene como resultado aproximadamente 7.5. Matemáticamente: \[\ln(7.5) \approx 2.0149\] ya que se cumple que: \[e^{2.0149} \approx 7.5\]

Número de Euler

El número irracional \(e\), conocido comúnmente como número de Euler o constante de Napier, fue reconocido y utilizado por primera vez por el matemático escocés John Napier, quien introdujo el concepto de logaritmo en el cálculo matemático.

El número de Euler \(e\) tiene un valor aproximado de 2.71828 y aparece en diversas ramas de las matemáticas, al ser la base de los logaritmos naturales y formar parte de las ecuaciones del interés compuesto, entre otros muchos problemas en matemáticas.

Partes del logaritmo natural

Las partes del logaritmo natural son la base, el argumento y el valor o resultado del logaritmo. A continuación, se describen detalladamente cada una de estas partes del logaritmo natural:

• Base del logaritmo natural: La base del logaritmo natural es el número irracional \(e\) (número de Euler), cuyo valor aproximado es 2.7188. La base del logaritmo natural está implícita en la expresión \(\ln(x)\), es decir, en lugar de escribir el logaritmo natural como \(\log_{e}(x)\), este se escribe simplemente como \(\ln(x)\). La base del logaritmo natural es el número que se eleva a un cierto exponente para obtener como resultado el valor del argumento del logaritmo natural.
• Argumento del logaritmo natural: El argumento del logaritmo natural es un número real mayor que cero. Se representa generalmente con la letra \(x\) y es el número del cual se está tomando el logaritmo. En la expresión \(\ln(x)\), \(x\) corresponde al argumento del logaritmo natural.
• Valor o resultado del logaritmo natural: El valor o resultado del logaritmo natural es un número real positivo. Se representa con la letra \(y\) y su valor corresponde al valor del exponente al que debe elevarse la base \(e\) para obtener como resultado el valor del argumento \(x\) del logaritmo. En la expresión \(\ln(x)=y\), \(y\) es el valor o resultado del logaritmo natural de \(x\).

Por ejemplo, si se tiene que: \[\ln(5)\approx 1.60\] la base del logaritmo es \(e\) (pues se trata de un logaritmo natural), el argumento del logaritmo natural es 5 y el resultado del logaritmo es aproximadamente 1.60. De manera similar, si se tiene que: \[\ln(10)\approx 2.30\] nuevamente la base del logaritmo es el número irracional \(e\), el argumento del logaritmo natural es 10 y el resultado del logaritmo es aproximadamente 2.30.

Propiedades de logaritmos naturales

Para enunciar las propiedades del logaritmo natural, sean \(x\), \(y\) números reales mayores que cero y \(n\) un número natural, tales que:

• Propiedad del logaritmo natural de un producto: El logaritmo natural de un producto es igual a la suma de los logaritmos naturales de los factores individuales: \[\ln{x\cdot y}=\ln(x)+\ln(y)\]
• Propiedad del logaritmo natural de un cociente: El logaritmo natural de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo natural del numerador y el logaritmo natural del denominador: \[\ln\left(\frac{x}{y}\right)=\ln{x}-\ln{y}\]
• Propiedad del logaritmo natural de una potencia: El logaritmo natural de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo natural de la base de la potencia: \[\ln{x^n}=n\cdot \ln{x}\]
• Propiedad del logaritmo natural de la raíz enésima: El logaritmo natural de la raíz enésima es igual al producto entre el recíproco del índice de la raíz y el logaritmo natural del radicando: \[\ln(\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n}\cdot\ln{x}\]
• Propiedad del cambio de base de un logaritmo natural: El logaritmo natural de un número real \(x\) puede cambiarse de base \(e\) a una base distinta \(b\) al dividir el logaritmo en base \(b\) del número \(x\) entre el logaritmo en base \(b\) del número \(e\). Matemáticamente, esto se expresa como: \[\ln(x)=\frac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(e)}\]

Otras propiedades de los logaritmos naturales se obtienen a partir de la definición de logaritmo natural. Estas propiedades, conocidas como propiedades secundarias de los logaritmos naturales, son las siguientes:

• Propiedad del logaritmo natural de 1: El logaritmo natural de 1 es igual a 0: \[\ln(1)=0\] El logaritmo natural de 1 es igual a cero, debido a que, al elevar la base del logaritmo natural \(e\) al exponente 0 se obtiene como resultado 1, es decir, \(e^0=1\).
• Propiedad del logaritmo natural de la base: El logaritmo natural de \(e\) (número de Euler) es igual a 1: \[\ln(e)=1\] El logaritmo natural de \(e\) es igual a 1, debido a que, cualquier número elevado al exponente 1 es igual a sí mismo, es decir, \(e^1=e\).
• El logaritmo natural de un número \(x\) no puede ser un número menor o igual que cero. Esto se debe a que la base del logaritmo natural es el número irracional \(e\), es decir, la base es un número positivo. Por lo tanto, al elevar dicha base a cualquier exponente, no se puede obtener como resultado un número negativo o cero.

Preguntas frecuentes sobre el logaritmo natural

¿Qué son los logaritmos naturales? Los logaritmos naturales son aquellos cuya base es el número irracional \(e\), es decir, son aquellos que tienen base \(e\). Se representan simplemente como \(\ln(x)\).

¿Qué es el logaritmo natural? En términos simples, el logaritmo natural de un número real positivo “x” es el exponente “y” al cual tiene que elevarse el número irracional “e” para obtener como resultado “x”.

¿Cuál es la base del logaritmo natural? El logaritmo natural es aquel logaritmo cuya base es el número irracional \(e\) (Número de Euler).