El logaritmo base \(a\) de un número real \(x\) es igual a un número real \(y\), que corresponde al valor del exponente al cual debe elevarse la base \(a\) del logaritmo para obtener como resultado el número \(x\). Si el logaritmo en base \(a\) de un número real \(x\) es igual a \(y\), entonces se escribe como: \[\log_{a}(x)=y\] y el valor de \(y\) cumple que: \[a^y=x\]
Calcular el logaritmo de un número real \(x\) consiste en hallar el valor del exponente \(y\) al cual debe elevarse la base \(a\) del logaritmo para obtener como resultado el argumento \(x\) del logaritmo. Por ejemplo, el logaritmo en base 2 del número 32 es igual a 5, ya que al elevar la base del logaritmo (2) al exponente 5 se obtiene como resultado 32. En otras palabras, \[\log_{2}(32)=5\] ya que se cumple que: \[2^5=32\]
Al proceso de calcular el logaritmo de un número real se le denomina logaritmación. A continuación, veamos la definición formal de logaritmo, las partes del logaritmo, las propiedades de los logaritmos y los tipos de logaritmos.
Definición de logaritmo
Dado un número real \(x\) mayor que cero y \(a\) un número real mayor que cero y diferente de uno, el logaritmo en base \(a\) de \(x\) es igual al exponente \(y\) al cual se debe elevar la base \(a\) del logaritmo para obtener \(x\) como resultado. Matemáticamente: \[\log_{a}(x)=y\Leftrightarrow a^y=x\]
Esta expresión se lee como: "El logaritmo en base \(a\) de \(x\) es igual a \(y\), si y solo si, por definición, \(a\) elevado al exponente \(y\) da como resultado \(x\)".
Partes de un logaritmo
Un logaritmo se compone de tres partes principales: la base, el argumento y el resultado (o valor del logaritmo). A continuación, se describen a detalle cada una de estas partes del logaritmo:
- Base del logaritmo: La base del logaritmo es un número real mayor que cero y diferente de uno. Se representa generalmente por la letra \(a\) y es el número que se eleva a un cierto exponente para obtener como resultado el valor del argumento del logaritmo. En la expresión \(\log_{a}(x)=y\), \(a\) es la base del logaritmo.
- Argumento del logaritmo: El argumento del logaritmo es un número real mayor que cero. Se representa generalmente con la letra \(x\) y es el número del cual se está tomando el logaritmo. En la expresión \(\log_{a}(x)=y\), \(x\) es el argumento del logaritmo.
- Resultado o valor del logaritmo: El resultado o valor del logaritmo es un número real positivo. Se representa con la letra \(y\) y su valor es el exponente al que debe elevarse la base del logaritmo para obtener como resultado el valor del argumento del logaritmo.
Por ejemplo, si se tiene que: \(\log_{2}(8)=3\), la base del logaritmo es 2, el argumento del logaritmo es 8 y el resultado del logaritmo es 3. De manera similar, si se tiene que: \(\log_{5}(125)=3\), entonces la base de este logaritmo es 5, el argumento del logaritmo es 125 y el resultado del logaritmo es 3.
Propiedades de los logaritmos
Las propiedades básicas de los logaritmos son:
-
Propiedad del logaritmo del producto: El logaritmo de un producto es igual a
la suma de los logaritmos de los factores:
\[\log_{a}(x\cdot y)=\log_{a}(x)+\log_{a}(y)\]
-
Propiedad del logaritmo del cociente: El logaritmo de un cociente es igual a
la diferencia entre el logaritmo del numerador y el logaritmo del
denominador:
\[\log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)=\log_{a}(x)-\log_{a}(y)\]
-
Propiedad del logaritmo de la potencia: El logaritmo de una potencia es
igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo de la
base de la potencia:
\[\log_{a}(x^n)=n\cdot\log_{a}(x)\]
-
Propiedad del logaritmo de una raíz: El logaritmo de una raíz es igual al
producto entre el recíproco del índice de la raíz y el logaritmo del
radicando:
\[\log_{a}(\sqrt[n]{x})=\frac{1}{n}\log_{a}(x)\]
-
Propiedad del cambio de base de un logaritmo: El logaritmo en base \(a\) de
un número real \(x\) se puede convertir en un logaritmo de una base distinta
\(b\) al dividir el logaritmo en base \(b\) del número \(x\) entre el
logaritmo en base \(b\) de la base original \(a\):
\[\log_{a}(x)=\frac{\log_{b}(x)}{\log_{b}(a)}\]
Otras propiedades de los logaritmos se obtienen a partir de la definición de logaritmo, dichas propiedades se conocen como propiedades secundarias de los logaritmos, las cuales son:
- Logaritmo de uno: El logaritmo de uno es igual a cero. El logaritmo de 1 en cualquier base \(a\) es igual a 0, ya que cualquier número \(a\) elevado al exponente cero es igual a uno: \[\log_{a}(1)=0\]
- Logaritmo de la base: El logaritmo de la base es igual a uno. El logaritmo base \(a\) de un número real \(a\) (logaritmo de la base) es igual a 1, ya que cualquier número elevado al exponente 1 es igual a sí mismo: \[\log_{a}(a)=1\]
Tipos de logaritmos
Cuando la base \(a\) de un logaritmo es 10, esta no aparece explícitamente en la notación del logaritmo. Es decir, si el logaritmo base 10 de un número real \(x\) es igual a \(y\), entonces este logaritmo se escribe simplemente como: \[\log(x)=y\] en lugar de escribirse como \[\log_{10}(x)=y\]
Por otra parte, cuando la base de un logaritmo es el número irracional \(e\) (número de Euler), nuevamente esta no aparece explícitamente en la notación de logaritmo. Es decir, si el logaritmo en base \(e\) de un número real \(x\) es igual a \(y\), entonces este logaritmo se escribe como: \[\ln(x)=y\], en lugar de escribirse como \[\log_{e}(x)=y\]
Los logaritmos en base 10 y los logaritmos en base \(e\) se denominan logaritmos decimales y logaritmos naturales, respectivamente.
Logaritmos decimales
El conjunto de logaritmos cuya base es 10 recibe el nombre de logaritmos decimales, logaritmos vulgares o de Briggs. Cuando no se escribe la base del logaritmo, se sobreentiende que la base del logaritmo es igual a 10. Por ejemplo: \[\begin{aligned}\log(25)&=\log_{10}(25)\\\log(100)&=\log_{10}(100)\end{aligned}\]
Logaritmos naturales
Al conjunto de logaritmos cuya base es el número irracional \(e\) (número de Euler) se les denomina logaritmos naturales. Cuando en lugar de escribir un logaritmo como \(\log_{a}(x))\) se escribe simplemente como \(\ln(x)\), se sobreentiende que la base del logaritmo es el número \(e\). Por ejemplo: \[\begin{aligned}\ln(8)&=\log_{e}(8)\\\ln(10)&=\log_{e}(10)\end{aligned}\]
Preguntas frecuentes sobre los logaritmos
¿Qué es un logaritmo en matemáticas? En matemáticas, el logaritmo de un número es igual al exponente al que debe elevarse la base del logaritmo para obtener como resultado el argumento del logaritmo.
¿Cuáles son las partes de un logaritmo? Las partes de un logaritmo son la base, el argumento y el resultado del logaritmo. Un logaritmo se expresa como: \[\log_{a}(x)=y\] donde \(a\) representa la base del logaritmo, \(x\) es el argumento del logaritmo y \(y\) es el resultado del logaritmo.
¿Para qué sirve un logaritmo? Los logaritmos se utilizan principalmente para resolver ecuaciones exponenciales, es decir, sirven para resolver ecuaciones en las que la incógnita se encuentra en el exponente de una potencia. Por ejemplo, se utilizan para resolver ecuaciones como: \[2^x=8\] Aplicando la definición de logaritmo, se obtiene que: \[\log_{2}(8)=x\]